【数学妄想】「コラッツの問題」を素人なりに考えてみた
算数で＋－×÷を覚えた小学生でも問題の意味が理解できる数学の未解決問題「コラッツの問題」を見て行きましょう。
STEP1
まず適当な正の整数 n を選びます。
操作①：n が偶数の場合はその n を２で割ります。
操作②：n が奇数の場合はその n を３倍して１を足します。
例えば６を選んだ場合、①の２で割る操作をするので３。
STEP2
偶数ならば操作①を、奇数ならば操作②を何度も繰り返し行います。
出発点＝６→３→１０→５→１６→８→４→２→１＝終点
すべての n は最終的に１になりそうだけど、これ証明できる人いる？
これが「コラッツの問題」の概要です。
お風呂で何となく問題を攻めるアイデアを考えてみました。操作①をすると偶数・奇数両方が出てきますが、操作②は偶数しか出てきませんよね。起こり得る３世代パターンは次の５つが考えられます。
Ａ：偶→偶→偶
Ｂ：偶→偶→奇（→偶）
Ｃ：偶→奇→偶
Ｄ：奇→偶→偶
Ｅ：奇→偶→奇（→偶）
操作②によって【奇→偶】は１セットとして考えられるので、偶の単純な出現確率は５０％を超えると予想できます。３世代の出現確率は偶が１０に対して奇が５となりました。比にして、偶：奇＝２：１です。これは操作①をした結果の出現比を偶：奇＝１：１として考えているので、そうなりますよね。
Ａ～ＥのうちＡ～Ｄは偶が最低でも２回は出現します。２回の操作①で４分の１になることと、１回の操作②で約３倍になるのを戦わせていったら、自然と数字は小さくなっていくことが分かります。残りのＥですが、奇→偶→奇→偶→奇→偶→･･･というふうにＥの連鎖が続く時だけ数字は膨らんでいきます。でも、実際は偶数の出現確率が高いため、いつかはパターンＤで途切れて無限大への歯止めがかかるはずです。
何となくではありますが、確率統計か、偶・奇をそれぞれ分子に見立てた統計力学、エントロピーの方面から攻めていった方が良いような気がしますねぇ。まぁ小難しい話は置いておいて、数字がメトロノームが振れるように大きくなったり小さくなったりを繰り返しているうちに、いつしか操作②をした時にたまたま２の累乗の数字に辿りついて、結果的に１になるということなんでしょう。２の累乗数の割合は小さい数ほど高確率になるので、これは偶数の出現確率が高いことと密接に関わっていると考えられます。
つまるところ、操作①②をした時に偶数になる確率が高い→長期的に見れば数字は小さくなっていく傾向にある＝２の累乗の高確率ゾーンに入る→操作を繰り返しているうちに２の累乗に辿りついて最終的に１になるという感じでしょうか。証明はできないですが、「コラッツの問題」はおそらく正しいと思います。
個人的には、振り子をそのまま放っておくと最下段で止まってしまうとか、傾斜が超緩やかな漏斗にルーレットボールを放り込んどいたら適当に運動したのちに失速して落ちてくる感じのイメージがありますね。
( 'ω' ).｡oO( 論理的にはそう考えられても、自分は頭が悪いので到底定式化なんてできそうにないわね
「ためになるわ」と感じて頂ければサポートを頂ければ幸いです。よろしくお願いいたします。