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【数学興味】「コラッツの問題」に素人が怖いもの知らずで切り口を入れてみた件3
前回のNOTE
前回の続きのNOTEです。
1.操作②による偶数の出現
操作②をした時に2の累乗数の違いで偶数を分類してみることにしました。1~1億の間に存在する任意の奇数を5000個抽出して操作②を行った結果、1つ増えるごとに半減していく傾向が見られました。個数が半減するイメージを面積にしたのが上スライドの右図です。個人的には物理や化学で習う半減期のグラフを思い出しましたね。
2.出現する偶数の割合予想
先ほどの結果を受けて、奇数と偶数が等量存在するとしたら2^1偶数は奇数の約半数、2^2偶数~2^∞偶数の総数も奇数の約半数となる予想を立てました。
3.各偶数の数値の倍率
操作中において、偶数は含まれている2の累乗の数だけ数値を半分にするルールが操作①でした。操作②の+1が計算に与える影響を無視した場合、操作①⇄操作②1回分で2^1偶数は数値が3/(2^1)倍に増加しますが、それ以外の偶数は数値が3/(2^2)倍以下に減少します。
4.素人の予想
まず、サンプルとなる整数をx、操作①⇄操作②を繰り返す回数をnとします。すると、nは奇数の個数と同数となります。偶数の個数はx次第で変化するのでnevと表記すると次式が立てられます。
与式:x・3^n・2^(-nev)≒1
ちなみにこの式は操作②の+1が計算に与える影響が無視できるほど小さいときに成立します。さて、1~10兆までの偶数・奇数サンプルを各800個抽出して与式で計算してみましょう。
5.計算結果
サンプル整数xの大小に関わらず与式の計算結果はおよそ0.8から1の間にきれいに揃いました。最大値はxが2の累乗数になる場合でもちろん1です。最小値はx=44495343の時で0.7982でした。ちなみに、x=1は終了条件ですが、これも含めて計算すると最小値は一気に0.75にまで下がります。
次は、操作②で+1をしなかったがために生じた誤差の大きさについて考察をしましょう。以下、興味本位で調べた内容は目次の通りで200円となります。素人ゆえに数学の程度が低い、間違った見解をしている、想像していた内容と違う等のクレームは一切受け付けません。それでも構わないという方のみ先にお進みくださいませ。
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