【数学興味】「コラッツの問題」の本筋とは違うことを素人が調べてみた件４

１．誤差率

前回のＮＯＴＥでは下記のように操作②の＋１を無視した立式をしました。

ｘ・３＾ｎ・２＾（－ｎev）≒１

ｘ　：　サンプル整数
ｎ　：　奇数の個数
ｎev：　偶数の個数

操作②の＋１を無視する／しないで数値にはズレが生じます。その誤差率を次式のように書きましょう。

誤差率（％）＝１００｛１－ｘ・３＾ｎ・２＾（－ｎev）｝

これは前回のＮＯＴＥに出したグラフの焼き直しみたいなものです。誤差のほぼない０－２％領域にはわずかながらデータが点在し、６－２０％領域には大量にあります。２－６％領域が空白なのも含めて、何かしら理由があるはずです。

２．誤差率０－２％になる秘密

誤差率がほぼゼロといってもいい０－２％領域にあるサンプル整数には共通点がありました。操作末尾の数値がすべて２の高次累乗数になっていたのです。

２，４，８，１６，３２，６４，１２８という操作②を行わなくていいサンプル７個の誤差率はもちろん０％です。問題は操作②を含むサンプルの操作末尾です。

２の累乗数の内訳は６乗が３個、８乗が２９個、１０乗が６１個、１６乗が３個でした。８乗と１０乗が殆どを占めていて、２５６と１０２４から１まで操作①が続くと、誤差が大きく生じてくる１００以下の数値領域で操作②を行わずに済みます。その結果、誤差率が０－２％に抑えられたと考えられます（誤差率は６ー２０％のサンプルは１００以下の数値領域で複数回操作②を通っていました）。ちなみに、各サンプルの誤差率の範囲は次の通りでした。

　８乗サンプル：０．３９ー１．００％
１０乗サンプル：０．０９８ー０．７９８％
１６乗サンプル：０．００１７％ー０．００８９％

(　'ω' ).｡oO( １６乗の誤差ってあって無いようなもんですね、６５５３６から一気に１まで減りますからねぇ

操作②の逆操作（１を引いて３で割る）をすれば分かりますが、小数点の数字になるため２の奇数乗は操作②で作ることができません。あるのは２の奇数乗そのものの１サンプルだけです。必然的に、２の偶数乗のデータがばらけてヒットするものだと予想していましたが、１２乗・１４乗のサンプルは１個も出現しませんでした。理由は分かりませんが、これは興味深い結果ですね。

３．いろんなサンプル整数の誤差率の推移

誤差率は数値操作中どんな挙動をしているのでしょうか。

ノーマルグラフにすると操作末尾の方が急激に立ち上がるだけになってしまうので片対数グラフにしました。操作②を行うたびに誤差が累積して上昇していく様子が見られます。サンプル整数が大きくなるに伴って操作回数も大きくなる傾向がありますね。

あとは、１０＾２スケールなら誤差１％レベル、１０＾１スケールなら誤差１０％レベルというように、操作②の＋１によって生じる誤差は操作中数値の逆数に応じたレベルで発生しています。

４．なんか平べったいところの意味は？

１兆台という巨大な整数を使うと色々な操作回数のサンプルに分かれます。分かりやすい様に操作回数がおよそ１００回ずつ離れたサンプルで誤差率をプロットしてみましょう。

操作回数が多いサンプルほど矢印で指しているような平地が出現しました。これはおそらく誤差率が全然増えないほどに操作中の数値が膨れ上がっていることを意味しているのでしょう。

例えば、矢印が指す平地の領域では操作中の数値をExcelで見てみたところ１０＾６～１０＾１０スケールで推移し続けていました。この場合、操作②の＋１による誤差率は１０＾（－５）～１０＾（－９）となるので、これを１０＾（－４）スケールで表現したら０．１以下の上昇分にしかなりません。その結果、あたかも平らに見えるような領域ができたものと思われます。

以上、素人が本筋とは違うことを調べてみた件でした(　'ω'　)