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『多様体の基礎』の演習問題解いてみたpart3
今回はセクション５の演習問題をしばいていきたいと思います。
また、誤りを含む可能性があります。
5.1
$${X}$$の任意の開集合を$${U}$$とします。包含写像の逆写像を考えて、
$${i^{-1}(U)=U\cap A \in \mathcal{O}_A}$$
よって$${i}$$は連続写像。
5.2
任意に$${U \times U' \in \mathcal{O}_{Y \ti
『多様体の基礎』の演習問題解いてみたpart2
前回同様、誤りを含む可能性があります。
今回はセクション４の問題を解いていきます。
セクション４4.1
まず、$${f:U \to V}$$を連続写像であるとしよう。任意に$${a\in U}$$を固定。
定義から任意の$${\varepsilon -}$$近傍に対して、ある$${\delta >0}$$が存在して、
$$
f(N_{\delta}(a))\subset N_{\vareps
『多様体の基礎』の演習問題解いてみた
本記事は自分の理解が目的。
正確でない箇所が含まれる場合があります。
ではさっそく、解いていく。
セクション２2.1
まず、$${U}$$が開集合のとき、$${\mathbb{R}^m-U}$$が閉集合であることを示そう。
背理法で示します。
収束する点列$${\{x_n\}_n \subset \mathbb{R}^m-U}$$をとり、これが$${a}$$に収束するとします。
いま、$${
ベルンシュタインの定理証明してみた！
前回、有理数体$${\mathbb{Q}}$$が可算集合であることをみていきました。
このときに、用いたベルンシュタインの定理の証明をやっていきます。
目標：全単射をつくる定理の主張を確認しよう
まずは、ベルンシュタインの定理の主張について、みていきましょう。
$$
集合A,Bについて,AからBへの単射およびBからA\\への単射がともに存在すれば,AとBの濃度が等しい
$$
濃度が等しい