山田太郎

数学好きぇ☆ 主に大学での数学について。 自分の理解を深めるための利己的なものである。…

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数学好きぇ☆ 主に大学での数学について。 自分の理解を深めるための利己的なものである。 B3 数理科

高校生のための加法定理

みんな大好き加法定理。 $$ \sin(\alpha +\beta)=\sin{\alpha}\cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\ \cos(\alpha +\beta)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta $$ ここでは、証明には一切触れることなく、関連するトピックについて自由闊達に書いてみようと思います。 倍角や半角 まず、ウォーミングアップとして、倍角の公式を見ていこ

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    • 虚数で大小関係★

      虚数単位 $$ i^2=-1 $$ 実数では、どんな二つの数も大小を比較することができました。（全順序） $${3}$$は$${1}$$よりも大きいし、$${\pi}$$は$${3}$$よりも大きいです。 しかし、虚数単位を含めた複素数という世界では、一般にふたつの数の大小は考えません。 例えば、$${3+2i}$$が$${1+i}$$よりも大きいとはいえません。 （$${3+2i>1+i}$$とは書かない） もし、大小関係があったら… では、複素数の世界で大小を考え

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      • 『多様体の基礎』の演習問題解いてみたpart3

        今回はセクション５の演習問題をしばいていきたいと思います。 また、誤りを含む可能性があります。 5.1 $${X}$$の任意の開集合を$${U}$$とします。包含写像の逆写像を考えて、 $${i^{-1}(U)=U\cap A \in \mathcal{O}_A}$$ よって$${i}$$は連続写像。 5.2 任意に$${U \times U' \in \mathcal{O}_{Y \times Y'}}$$をとると、 $${F^{-1}(U \times U')=(

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        • 『多様体の基礎』の演習問題解いてみたpart2

          前回同様、誤りを含む可能性があります。 今回はセクション４の問題を解いていきます。 セクション４4.1 まず、$${f:U \to V}$$を連続写像であるとしよう。任意に$${a\in U}$$を固定。 定義から任意の$${\varepsilon -}$$近傍に対して、ある$${\delta >0}$$が存在して、 $$ f(N_{\delta}(a))\subset N_{\varepsilon}(f(a)) $$ が成り立ちます。つまり、任意の$${x\in N

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        マガジン

        • 自然対数の底
          5本

        記事

          『多様体の基礎』の演習問題解いてみた

          本記事は自分の理解が目的。 正確でない箇所が含まれる場合があります。 ではさっそく、解いていく。 セクション２2.1 まず、$${U}$$が開集合のとき、$${\mathbb{R}^m-U}$$が閉集合であることを示そう。 背理法で示します。 収束する点列$${\{x_n\}_n \subset \mathbb{R}^m-U}$$をとり、これが$${a}$$に収束するとします。 いま、$${a\notin \mathbb{R}^m-U}$$つまり$${a\in U}$$

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          数12に関する耽美的な性質

          12という数について。 12の美しさに関して個人的な意見を述べることにする。 完全数 まず、完全数について説明する。 完全数とは例えば、6,28,496,8128,…である。 6の正の約数を考えよう。 1,2,3,6 である。 6自身以外の約数の和を計算してみる。 1+2+3=6 これが6に一致する。 このような性質を持つ数を完全数という。 28について確認してよう。 28の正の約数を列挙する。 1,2,4,7,14,28 28自身以外の和は 1+2+4+7+14=28

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          アイゼンシュタインの既約性判定定理により無理数なことを示す

          今回はアイゼンシュタインの既約判定性判定定理を用いて、$${\sqrt[n]{m}}$$が無理数であることを示したいと思います。 ただし、$${n}$$は$${2}$$以上の整数、$${m}$$は$${2}$$以上の平方因子をもたない整数とします。 ふわっとした確認アイゼンシュタインの既約性判定定理

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          UFDでは素元と既約元は同じ

          UFD、つまり一意分解性整域$${R}$$において素元と既約元が同値であることをみていきたいと思います。 大雑把に定義を確認UFD（一意分解性整域） 単元でない$${R}$$の元をとってきます。つまり、$${a \in R \setminus R^{\times}}$$とします。これに対し、$${R}$$の素元$${p_1,p_2,…,p_k}$$が存在して $$ a=p_1p_2\cdots p_k $$ と"一意に"表せることです。 補足ーa|b 次の記号を定

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          i^iは実数は無限個の実数？

          指数関数 まず、$${z \in \mathbb{C}}$$に対して、$${e^z}$$を定義しましょう。

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          イデアルの積と共通部分

          イデアル$${I,J}$$に対して、$${IJ \subset I \cap J}$$であるが（このことはすぐにわかる）、$${IJ \neq I \cap J}$$です。この具体例をひとつ挙げてみたいと思います。 イデアルの積 環$${R}$$のイデアル$${I,J}$$の積の定義を確認します。 定義 $$ IJ:=\{\sum_{i=1}^n a_ib_i|\forall i \in \{1,2,…,n\}~a_i \in I, b_i \in J\} $$ $$

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          ベルンシュタインの定理証明してみた！

          前回、有理数体$${\mathbb{Q}}$$が可算集合であることをみていきました。 このときに、用いたベルンシュタインの定理の証明をやっていきます。 目標：全単射をつくる定理の主張を確認しよう まずは、ベルンシュタインの定理の主張について、みていきましょう。 $$ 集合A,Bについて,AからBへの単射およびBからA\\への単射がともに存在すれば,AとBの濃度が等しい $$ 濃度が等しいとは全単射が存在することです。この定理を用いることで、比較的易しく集合が可算集合

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          有理数と自然数は同じ”個数”？

          有理数体$${\mathbb{Q} }$$が可算集合であることをみていきます。直感としては、自然数全体よりも有理数の方が”多そう”に思えます。しかし、$${\mathbb{Q}}$$と$${\mathbb{N}(:=\{1,2,3,…\})}$$は濃度が同じ、つまり、$${\mathbb{Q}}$$から$${\mathbb{N}}$$への全単射が存在します。これを二通りで確認したいと思います。 まず準備有理数とは？ 有理数は平たく言うと、整数分の整数と表される数です。もう

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          大学生のためのビットコイン～実際に買ってみる～

          こわい？ 耳にはしたことはあるビットコイン。ビットコインに対してどんなイメージがありますか。暴落したりと怖い印象が先行するのではないでしょうか。実際、上がったり下がったりと価格変動が激しいかもしれません（ボラティリティーが大きい）。これはリスクが高いということを表しているといわれます。せっかくバイトで稼いだお金が紙くずにあるのは嫌なので、触らぬ神に祟りなし、やらないことに決めますか。 一万円分買ってみた

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          意志が弱い

          意志が強いひとは存在するか

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          大学生　NISA

          とりあえず、始める まず、ネット証券（SBIあるいは楽天）で、口座開設の手続きをする。そしたら、NISAの申請をする（証券会社のページからすぐに申し込める）。数日後には準備ができるだろう。NISAが申請できたことを確認できたら、お金が入っている銀行口座から、入金する、あるいはクレジットカードで積み立てするつもりなら、カードを登録する。これで、積み立ての準備ができた。

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          人による人の評価

          まったく人が別の人の評価を下そうとするとき、材料になるものはすべて主観的なものである。客観的に判断することが求められるような場面であっても、たいていはポーズで終わる。

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          人による人の評価

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