山田太郎

数学好きぇ☆

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ピタゴラスの定理

次の直角三角形を見てみてください。 このとき、$${3^2+4^2=5^2}$$が成り立ちます。 実際、$${3^2=9}$$で、$${4^2=16}$$ですから、左辺は$${9+16=25}$$となります。これは右辺の$${5^2=25}$$に一致します。もう一つ具体例を見てみましょう。 このときも、$${5^2+12^2=13^2}$$が成立します。 実際に確認すると、$${5^2=25}$$であって、$${12^2=144}$$です。よって左辺は$${25+144=

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    • 自然対数の底eについて語らせて⑤eの存在

      $$ e=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n $$ 自然対数の底$${e}$$の存在は高校の範囲では保証してやることができません。しかし、$${e}$$を含む微分や積分の計算はたくさんさせられます。どういうものかよくわからず触ってきたのです。 このもやもやを解消するには極限の定義から立ち戻って考える必要があります。そこでまず厳密な定義について考えました。 そのうえで前回、数列が収束するための条件のひとつを紹介しま

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      • 自然対数の底eについて語らせて　④実数

        前回、数列の極限を定義しました。この定義から$${e}$$があるってことをきちんと示してみようと思います。前回の数列の収束の定義とは次のものでした。$${\lim_{n \to \infty }a_n = \alpha}$$とは、 $${\forall \varepsilon >0 ~~ \exist n_0 \in \mathbb{N} ~~ \forall n \ge n_0 ~~|a_n-\alpha |< \varepsilon }$$ でした。 自然数全体の集合

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        • 自然対数の底eについて語らせて　③極限

          eってホントにある？数列でもあらわせる $${e}$$を次の式で定義しました。 $${e=\lim_{k \to 0} (1+k)^{\frac{1}{k}}}$$ これは$${\frac{1}{k}=t}$$として、 $${e=\lim_{t \to \infty }(1+\frac{1}{t})^t}$$ とも書けます。これは数列の極限としても表せます。すなわち、 $${e=\lim_{n \to \infty }(1+\frac{1}{n})^n}$$ 極限に近づい

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        ピタゴラスの定理

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          自然対数の底eについて語らせて ②微分

          自分が$${e}$$にはじめて出会ったのは数学Ⅲの教科書でした。ここでは教科書の内容に沿って$${e}$$を考えてみようと思います。 まず、どうしてこんな変な数を考えているのでしょうか。このモチベーションは「$${\log{}}$$を微分したい！」というところにあります。なんで微分できたら嬉しいのかはきかないでください。さっそく本題入りますが、微分に関してはわかりやすい本や動画はたくさんあるので、微分自体の説明はさらっといきたいと思います。 logを微分してみる$${f(x

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          自然対数の底eについて語らせて ②微分

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          自然対数の底eについて語らせて　①対数

          ネイピア数ともいわれる「自然対数の底」とは、$${e=2.71828…}$$と無限に続く無理数です。この$${e}$$について言いたいことがたくさんあって、自分はこの数が大好きで、その愛をつらつらと述べていこうと思っています。 対数はルートと同じそもそも対数ってのはなんでしょうか。 $${\log}$$は高校で習うが何だったか、なじみの無い人もいると思います。 突然$${\log_2 3}$$といわれて、説明できる方が少数派ではないかと思われます。 ごちゃごちゃ詳しく説明す

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          自然対数の底eについて語らせて　①対数

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