イデアルの積と共通部分

イデアル$${I,J}$$に対して、$${IJ \subset I \cap J}$$であるが（このことはすぐにわかる）、$${IJ \neq I \cap J}$$です。この具体例をひとつ挙げてみたいと思います。

イデアルの積

環$${R}$$のイデアル$${I,J}$$の積の定義を確認します。
定義

$$
IJ:=\{\sum_{i=1}^n a_ib_i|\forall i \in \{1,2,…,n\}~a_i \in I, b_i \in J\}
$$

$${I}$$の元と$${J}$$の元の積の有限和でかけるような元全体をイデアルの積として定義します。これは$${R}$$のイデアルになっています。

反例をあげる