『多様体の基礎』の演習問題解いてみたpart3

今回はセクション５の演習問題をしばいていきたいと思います。
また、誤りを含む可能性があります。

5.1

$${X}$$の任意の開集合を$${U}$$とします。包含写像の逆写像を考えて、
$${i^{-1}(U)=U\cap A \in \mathcal{O}_A}$$
よって$${i}$$は連続写像。

5.2

任意に$${U \times U' \in \mathcal{O}_{Y \times Y'}}$$をとると、
$${F^{-1}(U \times U')=(f^{-1}(U),f'^{-1}(U'))\in \mathcal{O}_{X\times X'}}$$
ゆえに、$${F}$$は連続写像。

5.3

任意に$${U\times V\in \mathcal{O}_{X\times Y}}$$をとると、
$${F^{-1}(U\times V)=f(U)\cap f'(V)\in \mathcal{O}_{Z}}$$
したがって、$${F}$$は連続写像。

5.4

$${F:\mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{m+n}}$$を
$${F(v_1,\ldots ,v_m),(u_1,\ldots ,u_n))=(v_1,\ldots ,v_m,u_1,\ldots ,u_n)}$$と定める。これは明らかに全単射。
また、$${v\in \mathbb{R}^m,u\in \mathbb{R}^m}$$に対し恒等写像を$${i}$$とすると、$${F(v,u)=(i(v),i(u))}$$
とくに$${i}$$は包含写像であって5.1より、連続写像であり、さらに5.2と5.3より、$${F,F^{-1}}$$ともに連続写像であることがわかります。
ゆえに$${\mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^n \approx \mathbb{R}^{m+n}}$$

5.5

$${h}$$が連続なら、$${g=h\circ f}$$より$${g}$$も連続。
$${g}$$を連続とします。
任意に$${U\in \mathcal{O}_Z}$$をとります。
このとき、$${h^{-1}(U)\in \mathcal{O}_f}$$を示せばok。
つまり、$${f^{-1}(h^{-1}(U))=(f^{-1}\circ h^{-1}(U)=(h\circ f)^{-1}(U)\in \mathcal{O}_X}$$を示せればok。
いま、$${(h\circ f)^{-1}(U)=g^{-1}(U)}$$。
実際、$${g=h\circ f}$$に注意すると

$$
x\in (h\circ f)^{-1}(U) \\
\iff (h\circ f)(x)\in U \\
\iff g(x)\in U \\
\iff x \in g^{-1}(U)
$$

いま$${g}$$は連続であるから、$${g^{-1}(U)\in \mathcal{O}_X}$$であるので、以上の事から$${h}$$は連続。

5.6

$${(A,\mathcal{O}_A)}$$の任意の異なる２点を$${p,q}$$とする。
$${p,q\in X}$$であって、
$${X}$$はハウスドルフであるから、
開集合$${U,V\in \mathcal{O}}$$が存在して、
$${p\in U,q\in V }$$かつ$${U\cap V=\emptyset}$$
ゆえに、
$${U\cap A,V\cap A\in \mathcal{O}_A}$$で
$${p\in U\cap A,q\in V\cap A}$$かつ
$${(U\cap A)\cap (V\cap A)=\emptyset }$$
したがって、$${A}$$はハウスドルフ空間。

5.7

$${X,Y}$$をハウスドルフ空間であるとします。
任意に異なる２点$${(a,b),(p,q)\in X\times Y}$$をとると、
$${X,Y}$$のハウスドルフ性から次を満たす開集合$${U_1,U_2\in \mathcal{O}_X ,V_1,V_2\in \mathcal{O}_Y}$$がとれます。

$$
a\in U_1,p\in U_2 \\
b\in V_1,q\in V_2 \\
U_1\cap U_2 =\emptyset \\
V_1\cap V_2 =\emptyset 
$$

したがって、

$$
(a,b)\in U_1 \times V_1 \\
(p,q)\in U_2 \times V_2 \\
(U_1 \times V_1)\cap (U_2\times V_2) =\emptyset
$$

ゆえに積集合$${X \times Y}$$はハウスドルフ空間。