問題$${2}$$以上の整数で，$${1}$$とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という。以下の問いに答えよ。 (1) $${f(x)=x^3+10x^2+20x}$$とする。$${f(n)}$$が素数とな…
問題与えられた自然数$${a_0}$$に対して, 自然数からなる数列$${a_0, a_1, a_2, …}$$を次のように定める. $$ a_{n+1} = \begin{cases} \cfrac{a_n}{2} & (a_nが偶数の…
問題整数の組$${(a,b)}$$に対して$${2}$$次式$${f(x)=x^2+ax+b}$$を考える。方程式$${f(x)=0}$$の複素数の範囲のすべての解$${\alpha}$$に対して$${\alpha^n=1}$$となる正…
問題点$${t}$$を実数とし，$${xy}$$平面上の点$${{\rm P}(\cos2t, \cos t)}$$および点$${{\rm Q}(\sin t,\sin2t)}$$を考える。 (1) 点$${{\rm P}}$$と点$${{\rm Q}}$$が一…
私が受験生だった頃の話です。高3の1月、センター試験の翌日自己採点が終わり、私は国公立大学の出願先に悩んでいました。第一志望は東京工業大学。この大学はセンター試験…
問題$${3}$$つのタイプのコインがある。タイプ$${\rm I}$$は，両面に$${\rm H}$$が書かれている。タイプ$${\rm II}$$は，両面に$${\rm T}$$が書かれている。タイプ$${\rm I…
問題点$${\rm{O,A,B,C}}$$を頂点とする四面体$${\rm{OABC}}$$を考える。辺$${\rm{OA, OB, OC}}$$の中点をそれぞれ$${\rm{P,Q,R}}$$とし，辺$${\rm{BC, CA, AB}}$$の中点を…
問題(1) $${2024}$$の約数の中で$${1}$$番大きいものは$${2024}$$だが，$${6}$$番目に大きいものは[ ア ]である。$${2024}$$の6乗根に最も近い自然数は[ イ ]である。 …
問題2つのチーム$${W, K}$$が$${n}$$回試合を行う。ただし，$${n\geqq2}$$とする。各試合での$${W,K}$$が勝つ確率は$${\cfrac{1}{2}}$$とし，引き分けはないものとする。$$…
問題$${n}$$を自然数とし，数$${1, 2 ,4}$$を重複を許して$${n}$$個並べてできる$${n}$$桁の自然数全体を考える。そのうちで$${3}$$の倍数となるものの個数を$${a_{n}}$$，…
問題円$${C : x^2+(y-1)^2=1}$$に接する直線で，$${x}$$切片，$${y}$$切片がともに正であるものを$${l}$$とする。$${C}$$と$${l}$$で囲まれた部分の面積を$${S}$$，$${C}$$…
問題(1) 正の整数$${k}$$に対し， $$ A_{k} = \int^{\sqrt{(k+1)\pi}}_{\sqrt{k\pi}}|\sin(x^2)|dx $$ とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。 $$ \frac{1}{\sqrt{(k…
自見由太朗
2024年2月28日 02:39
問題$${2}$$以上の整数で，$${1}$$とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という。以下の問いに答えよ。(1) $${f(x)=x^3+10x^2+20x}$$とする。$${f(n)}$$が素数となるような整数$${n}$$をすべて求めよ。(2) $${a, b}$$を整数の定数とし，$${g(x)=x^3+ax^2+bx}$$とする。$${g(n)}$$が素数となるような整数$
2024年2月25日 18:56
問題与えられた自然数$${a_0}$$に対して, 自然数からなる数列$${a_0, a_1, a_2, …}$$を次のように定める. $$a_{n+1} = \begin{cases}\cfrac{a_n}{2} & (a_nが偶数のとき)\\\cfrac{3a_n+1}{2} & (a_nが奇数のとき)\end{cases}$$次の問いに答えよ. (1) $${a_0,
2024年2月25日 17:26
問題整数の組$${(a,b)}$$に対して$${2}$$次式$${f(x)=x^2+ax+b}$$を考える。方程式$${f(x)=0}$$の複素数の範囲のすべての解$${\alpha}$$に対して$${\alpha^n=1}$$となる正の整数$${n}$$が存在するような組$${(a, b)}$$をすべて求めよ。解説実数解をもつ場合と虚数解をもつ場合で分けて考えます。( i ) 実数解をも
2024年2月25日 14:49
問題点$${t}$$を実数とし，$${xy}$$平面上の点$${{\rm P}(\cos2t, \cos t)}$$および点$${{\rm Q}(\sin t,\sin2t)}$$を考える。(1) 点$${{\rm P}}$$と点$${{\rm Q}}$$が一致するような$${t}$$の値をすべて求めよ。(2) $${t}$$が$${0 < t < 2\pi}$$の範囲で変化するとき，点$$
2024年2月24日 19:44
私が受験生だった頃の話です。高3の1月、センター試験の翌日自己採点が終わり、私は国公立大学の出願先に悩んでいました。第一志望は東京工業大学。この大学はセンター試験の点数は足切りにしか使わないため、合否は2次試験のみで決まります。自己採点の結果は8割弱と想定よりはかなり悪かったものの、足切りである600点は超えていたため、出願すればそれで不利になるということはありません。しかし、それまでの模試の
2024年2月24日 03:05
問題$${3}$$つのタイプのコインがある。タイプ$${\rm I}$$は，両面に$${\rm H}$$が書かれている。タイプ$${\rm II}$$は，両面に$${\rm T}$$が書かれている。タイプ$${\rm III}$$は，片面に$${\rm H}$$，もう片面に$${\rm T}$$が書かれている。袋の中にタイプ$${\rm I}$$のコインが$${1}$$枚，タイプ$${\rm II
2024年2月21日 03:43
問題点$${\rm{O,A,B,C}}$$を頂点とする四面体$${\rm{OABC}}$$を考える。辺$${\rm{OA, OB, OC}}$$の中点をそれぞれ$${\rm{P,Q,R}}$$とし，辺$${\rm{BC, CA, AB}}$$の中点をそれぞれ$${\rm{S,T,U}}$$とする。(1) 辺$${\rm{PS, QT, RU}}$$が1点で交わることを示せ。(2) $${\r
2024年2月20日 06:37
問題(1) $${2024}$$の約数の中で$${1}$$番大きいものは$${2024}$$だが，$${6}$$番目に大きいものは[ ア ]である。$${2024}$$の6乗根に最も近い自然数は[ イ ]である。(2) 関数$${f(x)}$$は実数全体で定義されており，$${x\leqq2}$$において$$\frac{2}{3}-\frac{1}{3}x \leqq f(x) \leq
2024年2月20日 02:56
問題2つのチーム$${W, K}$$が$${n}$$回試合を行う。ただし，$${n\geqq2}$$とする。各試合での$${W,K}$$が勝つ確率は$${\cfrac{1}{2}}$$とし，引き分けはないものとする。$${W}$$が連敗しない確率を$${p_n}$$とする。ただし，連敗とは$${2}$$回以上続けて負けることを言う。(1) $${p_3}$$を求めよ。(2) $${p_{n+
2024年2月19日 23:36
問題$${n}$$を自然数とし，数$${1, 2 ,4}$$を重複を許して$${n}$$個並べてできる$${n}$$桁の自然数全体を考える。そのうちで$${3}$$の倍数となるものの個数を$${a_{n}}$$，$${3}$$で割ると$${1}$$余るものの個数$${b_{n}}$$，$${3}$$で割ると$${2}$$余るものの個数$${c_{n}}$$とする。(1) $${a_{n+1}}
2024年2月19日 21:00
問題円$${C : x^2+(y-1)^2=1}$$に接する直線で，$${x}$$切片，$${y}$$切片がともに正であるものを$${l}$$とする。$${C}$$と$${l}$$で囲まれた部分の面積を$${S}$$，$${C}$$と$${l}$$と$${y}$$軸により囲まれた部分の面積を$${T}$$とする。$${S+T}$$が最小となるとき，$${S-T}$$の値を求めよ。解説まずは図を
2024年2月16日 05:17
問題(1) 正の整数$${k}$$に対し，$$A_{k} = \int^{\sqrt{(k+1)\pi}}_{\sqrt{k\pi}}|\sin(x^2)|dx$$とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。$$\frac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \leqq A_{k} \leqq \frac{1}{\sqrt{k\pi}} $$(2) 正の整数$${n}$$に
