【解答速報】東大理系数学2024第6問

問題

$${2}$$以上の整数で，$${1}$$とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という。以下の問いに答えよ。

(1) $${f(x)=x^3+10x^2+20x}$$とする。$${f(n)}$$が素数となるような整数$${n}$$をすべて求めよ。
(2) $${a, b}$$を整数の定数とし，$${g(x)=x^3+ax^2+bx}$$とする。$${g(n)}$$が素数となるような整数$${n}$$の個数は$${3}$$個以下であることを示せ。

解説

(1)

$${f(n)=n(n^2+10n+20)}$$が素数となる$${n}$$を求める問題です。$${n=\pm1}$$または$${n^2+10n+20=\pm1}$$が必要条件なので、これらの場合について$${f(n)}$$が素数になるか調べれば終了です。

$${n=1}$$のとき、$${f(1)=31}$$より題意を満たします。

$${n=-1}$$のとき、$${f(-1)=-11}$$より題意を満たしません。

$${n^2+10n+20=1}$$のとき、これを満たす整数$${n}$$が存在しないので題意を満たしません。

$${n^2+10n+20=-1}$$のとき、これを満たす整数$${n}$$は$${n=-3, -7}$$です。$${f(-3) = 3, f(-7)=7}$$より両者とも素数なので題意を満たします。

以上より、求める$${n}$$は$${n=1, -3, -7}$$ですべてです。

(2)

$${g(n)=n(n^2+an+b)}$$が素数となる整数$${n}$$が$${3}$$個以下であることを示す問題です。とっつきにくい問題ですが、まずは(1)にならって問題を整理しましょう。

$${g(n)}$$が素数となる必要条件は$${n=\pm1}$$または$${n^2+an+b=\pm1}$$です。したがって、$${n^2+an+b=\pm1}$$の解を$${\alpha_{\pm}, \beta_{\pm}}$$とおくと、素数となりうるのは

$$
\begin{array}{lll}
g(1) &=& a+b+1\\
g(-1) &=& a-b-1\\
g(\alpha_{+}) &=&\alpha_{+} = \cfrac{-a+\sqrt{a^2-4b+4}}{2}\\ 
\\
g(\beta_{+}) &=&\beta_{+} = \cfrac{-a-\sqrt{a^2-4b+4}}{2}\\ 
\\
g(\alpha_{-}) &=&-\alpha_{-} = \cfrac{-a+\sqrt{a^2-4b-4}}{2}\\ 
\\
g(\beta_{-}) &=&-\beta_{-} = \cfrac{-a-\sqrt{a^2-4b-4}}{2}\\ 
\end{array}
$$

の$${6}$$個です。

これらのうち、$${4}$$個以上が同時には素数になりえないことを示していくことになります。

ここからどう手を付けていいか悩みますが、$${\alpha_{\pm}, \beta_{\pm}}$$が素数になる条件が厳しいはずなので、このあたりに突破口があると信じて調べてみます。まず、これらが素数であるためには、そもそも整数でなければいけないから、$${a^2-4b+4}$$や$${a^2-4b-4}$$が平方数であることが必要です。これらは差が$${8}$$なので、ともに平方数になるとしたら$${a^2-4b-4=1, a^2-4b+4=9}$$の時のみです。ちゃんと示したければ、$${4\leqq k < l}$$に対し、$${k^2+8 < l^2}$$であることと、$${k\leqq3, k < l}$$のとき、$${k^2+8=l^2}$$を満たすのが$${k=1, l=3}$$のみであることを言えばよいです。

さて、これで$${a^2-4b+4=1, a^2-4b+4=9}$$の場合を除けば、$${4}$$個以下であることまでは示せたことになります。続きは、

• ( i ) $${a^2-4b-4=1, a^2-4b+4=9}$$

• ( ii ) $${a^2-4b+4}$$が$${9}$$でない平方数

• ( iii ) $${a^2-4b-4}$$が$${1}$$でない平方数

の3つに場合分けして進めます。

( i ) $${\bm{a^2-4b-4=1, a^2-4b+4=9}}$$のとき

$$
\begin{array}{lll}
g(\alpha_{+}) = \cfrac{-a+3}{2}\\ 
g(\beta_{+}) = \cfrac{-a-3}{2}\\ 
g(\alpha_{-}) = \cfrac{a-1}{2}\\ 
g(\beta_{-}) = \cfrac{a+1}{2}\\ 
\end{array}
$$

となります。これらのうち素数が$${2}$$個未満であれば、全体で素数は$${3}$$個以下です。これらのうち$${2}$$個以上が素数である場合について考えます。

$${a\geqq0}$$のとき、$${g(\alpha_{+})<2, g(\beta_{+})<2}$$かつ$${g(\beta_{-})-g(\alpha_{-})=1}$$より、素数が$${2}$$個以上になるのは$${g(\alpha_{-})=2, g(\beta_{-})=3}$$、すなわち$${a=5}$$の時のみです。このとき$${a^2-4b-4=1}$$より$${b=5}$$であり、$${g(1)=11, g(-1)=-1}$$だから、素数となるのは全部で$${3}$$個です。

また、$${a < 0}$$のとき、$${g(\alpha_{-})<2, g(\beta_{-})<2}$$かつ$${g(\alpha_{+})-g(\beta_{+})=3}$$より素数が$${2}$$個以上になるのは$${g(\alpha_{+})=5, g(\beta_{-})=2}$$、すなわち$${a=-7}$$の時のみです。このとき$${b=11, g(1)=5, g(-1)=-19}$$となり、素数となるのは全部で$${3}$$個です。

したがって、$${a^2-4b-4=1, a^2-4b+4=9}$$のとき素数となる$${n}$$は$${3}$$個以下です。

( ii ) $${\bm{a^2-4b+4}}$$が$${\bm{9}}$$でない平方数のとき

$${g(\alpha_{-}), g(\beta_{-})}$$は整数でないので、当然素数でもありません。残りの$${4}$$個の素数候補は、

$$
\begin{array}{lll}
g(1) &=& a + (b+1)\\ 
g(-1) &=& a - (b+1)\\
\\
g(\alpha_{+}) &=&\cfrac{-a+\sqrt{a^2-4b+4}}{2}\\ 
\\
g(\beta_{+}) &=& \cfrac{-a-\sqrt{a^2-4b+4}}{2}\\ 
\\
\end{array}
$$

でしたが、$${a\leqq0}$$のとき、$${g(1), g(-1)}$$のいずれかが$${0}$$以下、$${a > 0}$$のときは$${g(\alpha_{+}), g(\alpha_{-})}$$のいずれかが$${0}$$未満となります。そのため、$${4}$$つのうち少なくとも一つは素数でなく、全体で素数の個数は$${3}$$個以下となります。

( iii ) $${\bm{a^2-4b-4}}$$が$${\bm{1}}$$でない平方数のとき

$${g(\alpha_{+}), g(\beta_{+})}$$は素数でなく、残りの$${4}$$個の素数候補は、

$$
\begin{array}{lll}
g(1) &=& a + (b+1)\\ 
g(-1) &=& a - (b+1)\\
\\
g(\alpha_{-}) &=&\cfrac{a-\sqrt{a^2-4b-4}}{2}\\ 
\\
g(\beta_{-}) &=& \cfrac{a+\sqrt{a^2-4b-4}}{2}\\ 
\\
\end{array}
$$

です。ここで、$${g(\alpha_{-}), g(\beta_{-})}$$がともに素数だとすると、

$$
g(-1) = g(\alpha_{-}) + g(\beta_{-}) - g(\alpha_{-})g(\beta_{-}) = -(g(\alpha_{-}) -1)(g(\beta_{-}) -1) +1 \leqq -(2-1)(3-1)+1=-1
$$

より$${g(-1)}$$は素数でないです。したがって、これら$${4}$$個のうち少なくとも$${1}$$個は素数でないので、全体で素数の個数は$${3}$$個以下となります。

以上、( i )~( iii )より、$${g(n)}$$が素数となる$${n}$$は$${3}$$個以下であることが示されました。