【解説】東京大学理系数学2023第1問

問題

(1) 正の整数$${k}$$に対し，

$$
A_{k} = \int^{\sqrt{(k+1)\pi}}_{\sqrt{k\pi}}|\sin(x^2)|dx
$$

とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。

$$
\frac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \leqq A_{k} \leqq \frac{1}{\sqrt{k\pi}}
$$

(2) 正の整数$${n}$$に対し，

$$
B_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}\int^{\sqrt{2n\pi}}_{\sqrt{n\pi}}|\sin(x^2)|dx
$$

とおく。極限$${\lim_{n\to\infty}B_{n}}$$を求めよ。

解説

(1)は与えられた積分の不等式評価です。$${A_{k}}$$がこのままの形だと見通しが立てづらいので変形します。あからさまに$${t=x^2}$$で変数変換してほしそうなので素直に従ってみると

$$
A_{k} = \int^{(k+1)\pi}_{k\pi}\frac{|\sin t|}{2\sqrt{t}}dt 
$$

となります。ここまで来れば与えられた不等式までたどり着けそうです。被積分関数は、積分範囲内で

$$
\frac{|\sin t|}{\sqrt{(k+1)\pi}} \leqq \frac{|\sin t|}{2\sqrt{t}} \leqq \frac{|\sin t|}{\sqrt{k\pi}}
$$

と評価でき、これを辺々積分することで与式が示せます。$${|\sin{t}|}$$の積分は$${\sin{t}}$$のグラフの一山分の面積と等しいので

$$
\int^{(k+1)\pi}_{k\pi}|\sin t| dt = 2
$$

となります。解答では$${k}$$の偶奇で場合分けして示せばよいです。

次に(2)です。問題文から、

• $${B_{n}}$$が$${A_{k}}$$と似ている

• どうせ(1)が誘導になってるはず

• 不等式+極限ならはさみうちの原理を使えそう

くらいのことが自然に発想できると思うので、これを踏まえて、「$${\bm{B_{k}}}$$を$${\bm{A_{k}}}$$で表し、(1)の不等式を使ってはさみうちの原理」という方針で進めればよさそうです。$${A_{k}}$$と$${B_{n}}$$の違いは頭の$${1/\sqrt{n}}$$と積分範囲だけであり、$${B_{n}}$$は$${A_{k}}$$の和をとって

$$
B_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=n}^{2n-1}A_{k} 
$$

と表現できます。これに(1)の不等式を適用すると

$$
\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=n}^{2n-1}\frac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \leqq B_{n} \leqq \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=n}^{2n-1}\frac{1}{\sqrt{k\pi}}
$$

となり、両辺は極限をとると区分求積法で計算できそうな形になりました。左辺の極限は

$$
\lim_{n\to\infty}(左辺) =  \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=n}^{2n-1}\frac{1}{\sqrt{\frac{k+1}{n}\pi}}\\
= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{\sqrt{\frac{k}{n}\pi}}\\
= \int^{2}_{1}\frac{1}{\sqrt{\pi x}}dx\\
= \left[2\sqrt{\frac{x}{\pi}}\right]^{2}_{1}\\
= \frac{2}{\sqrt{\pi}}(\sqrt{2}-1)
$$

と計算できます。右辺の極限も同様に計算すると同じ値になるので、はさみうちの原理より

$$
\lim_{n\to\infty}B_{n}= \frac{2}{\sqrt{\pi}}(\sqrt{2}-1)
$$

となります。