数学Ⅲ積分の攻略［三角関数のみで表される関数の積分編］

こんにちは。
今回は、「三角関数のみで表される関数の積分」をしたいと思います。
合わせてこちらもご覧ください。

では、勉強していきましょう！

$${sinA×cosB}$$など、$${A,B}$$が異なることを「位相が異なる」といいます。
位相が異なる場合、やることは次の２つです。

①位相を揃える
②積→和の公式を利用する。

(1)$${\displaystyle\int_{}{}sin2x×cosx  dx}$$を計算しましょう。

解説
位相が異なるので揃えます。

$${sin2x=2sinxcosx}$$より、

$${\displaystyle\int_{}{}2sinxcosx×cosx  dx}$$

=$${2\displaystyle\int_{}{}sinxcos^2x  dx}$$

ここからは基本形です。

$${t=cosx}$$とすると、$${dt=-sinxdx}$$なので、

$${dx=-\dfrac{dt}{sinx}}$$

=$${2\displaystyle\int_{}{}t^2・sinx・\left(-\dfrac{dt}{sinx}\right)}$$

=$${-2\displaystyle\int_{}{}t^2 dt}$$

=$${-\dfrac{2}{3}t^3+C}$$

=$${-\dfrac{2}{3}cos^3x+C}$$（答え）

(2)$${\displaystyle\int_{}{}sin7x×cos4x  dx}$$を計算しましょう。

解説
位相が大きいので、積→和の公式を利用します。
加法定理から導入します。

$${sin(7x+4x)=sin7xcos4x+cos7xsin4x}$$…①
$${sin(7x-4x)=sin7xcos4x-cos7xsin4x}$$…②

①＋②より、

$${sin11x+sin3x=2sin7xcos4x}$$

$${sin7xcos4x=\dfrac{sin11x+sin3x}{2}}$$

よって、

$${\displaystyle\int_{}{}\dfrac{sin11x+sin3x}{2}  dx}$$

=$${\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{}{}sin11x+sin3x  dx}$$

=$${\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{11}cos11x-\dfrac{1}{3}cos3x\right)}$$

=$${-\dfrac{1}{22}cos11x-\dfrac{1}{6}cos3x+C}$$（答え）

(3)$${\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{4}}sin3xsinx  dx}$$を計算しましょう。

解説
(2)と同様に解きます。
加法定理を利用すると、

$${cos(3x+x)=cos3xcosx-sin3xsinx}$$…①

$${cos(3x-x)=cos3xcosx+sin3xsinx}$$…②

②－①より、

$${cos2x-cos4x=2sin3xsinx}$$となり、

$${sin3xsinx=\dfrac{cos2x-cos4x}{2}}$$

よって、

$${\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{4}}cos2x-cos4x  dx}$$

=$${\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{2}sin2x-\dfrac{1}{4}sin4x\right]_0^\frac{π}{4}}$$

=$${\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}・1-\dfrac{1}{4}・0-(0-0)\right)}$$

=$${\dfrac{1}{4}}$$（答え）

位相が異なるときは揃えればいいんですね！
加法定理を利用するので、復習が大切です。
次回は、「位相が揃っている次数が高い三角関数の積分」をします！

前のページへ◀｜とらねこの数学｜▶次のページへ

#とらねこ #数学 #積分