数学Ⅲ積分の攻略［特殊編］

こんにちは。
今回は、少し特殊な置き換えをする積分を練習します。
パターンは３つだけですので、しっかりと確認しましょう。

数学Ⅲ積分の超基礎編は、こちらからご覧ください。

では、はじめていきましょう！

①　$${\sqrt{a^2-x^2}}$$を含む積分

この積分は、$${x=asinθ  (-\dfrac{π}{2}≦θ≦\dfrac{π}{2})}$$と置きます。
少し例を出してみます。

$${\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2} dx}$$を積分しましょう。

解法
$${x=sinθ}$$とおくと、$${dx=cosθdθ}$$

$${\begin{array}{c|c}x&0→1\\θ&0→\dfrac{π}{2}\\\end{array}}$$
※文字が変わったら、文字の範囲も変わります。

$${\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\sqrt{1-sin^2θ}・cosθdθ}$$

ここで、$${1-sin^2θ=cos^2θ}$$より、

$${\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\sqrt{cos^2θ}・cosθdθ}$$

=$${\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}cos^2θdθ}$$

ここで、$${cos^2θ}$$の積分は知らないので、次数を下げて$${cosθ}$$にします。

$${cos^2θ=\dfrac{1+cos2θ}{2}}$$（※数Ⅱ範囲）を利用すると、

=$${\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{2}}\dfrac{1+cos2θ}{2}dθ}$$

=$${\left[ \dfrac{θ}{2}+\dfrac{1}{4}sin2θ \right]_0^\frac{π}{2} \\}$$

=$${\dfrac{π}{4}}$$（答え）

②　$${x^2+a^2}$$を含む積分

この積分は、$${x=atanθ   (-\dfrac{π}{2}<θ<\dfrac{π}{2})}$$と置きます。
少し例を出してみます。

$${\displaystyle\int_{0}^{2}\dfrac{1}{x^2+4} dx}$$を積分しましょう。

$${x=2tanθ}$$とおくと、$${dx=\dfrac{2}{cos^2θ}dθ}$$

$${\begin{array}{c|c}x&0→2\\θ&0→\dfrac{π}{4}\\\end{array}}$$
※文字が変わったら、文字の範囲も変わります。

$${\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{4}}\dfrac{1}{4(1+tan^2θ)}・\dfrac{2}{cos^2θ}dθ}$$

=$${\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{4}}\dfrac{1}{4}cos^2θ・\dfrac{2}{cos^2θ}dθ}$$

※$${1+tan^2θ=\dfrac{1}{cos^2θ}}$$（※数Ⅰ範囲）

=$${\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{4}}\dfrac{1}{2}dθ}$$

=$${\left[ \dfrac{θ}{2}\right]_0^\frac{π}{4} \\}$$

=$${\dfrac{π}{8}}$$（答え）

③　$${\sqrt{…}}$$や$${sin(…)}$$の積分

この積分は、一部か全体を文字に置きます。
少し例を出してみます。

$${\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+2\sqrt{x}}  dx}$$を積分しましょう。

解法

$${t=\sqrt{1+2\sqrt{x}}}$$とする。

$${t^2=1+2\sqrt{x}}$$より、$${x=\left(\dfrac{t^2-1}{2}\right)^2}$$

$${dx=t(t^2-1)dt}$$

$${\begin{array}{c|c}x&0→1\\t&1→\sqrt{3}\\\end{array}}$$
※文字が変わったら、文字の範囲も変わります。

$${\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{3}}t・t(t^2-1)  dt}$$

=$${\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{3}}t^4-t^2 dt}$$

=$${\left[ \dfrac{t^5}{5}-\dfrac{t^3}{3}\right]_1^{\sqrt{3}}\\}$$

=$${\dfrac{4\sqrt{3}}{5}+\dfrac{2}{15}}$$（答え）

今回の３つのパターンは、入試でよく出題されるようです。
基本の形は覚えておきたいですね。

次回は、部分積分について書いてみたいと思います。

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