数学Ⅲ積分の攻略［部分積分編］
こんにちは。
今回は、部分積分の練習をしたいと思います。
これは、形を覚えて当てはめるだけなので、比較的やりやすいと思います。
合わせてこちらもご覧ください。
では、はじめましょう！
まず、部分積分の公式を覚えましょう。
$${\displaystyle\int_{}{}f'g dx=fg-\displaystyle\int_{}{}fg' dx}$$
何を$${f,g}$$にするかが重要！
右の積分の中をいかに簡単にするかを考えながら計算します。
超基礎編でも特殊編でも解けない場合は、部分積分を利用すると思って下さい。
少し問題を解いてみましょう。
(1)$${\displaystyle\int_{}{}xcosx dx}$$を計算しましょう。
解法
$${f'=cosx,f=sinx}$$
$${g'=1,g=x}$$とする。
$${xsinx-\displaystyle\int_{}{}1・sinx dx}$$
=$${xsinx+cosx+C}$$（答え）
(2)$${\displaystyle\int_{}{}xe^x dx}$$を計算しましょう。
解法
$${f'=e^x,f=e^x}$$
$${g'=1,g=x}$$とする。
$${xe^x-\displaystyle\int_{}{}1・e^x dx}$$
=$${xe^x-e^x+C}$$（答え）
(3)$${\displaystyle\int_{}{}logx dx}$$を計算しましょう。
解法
$${\displaystyle\int_{}{}1・logx dx}$$と変形。
$${f'=1,f=x}$$
$${g'=\dfrac{1}{x} ,g=logx}$$とする。
=$${xlogx-\displaystyle\int_{}{}x・\dfrac{1}{x} dx}$$
=$${xlogx-x+C}$$（答え）
(4)$${\displaystyle\int_{}{}e^xsinx dx}$$を計算しましょう。
解法
$${f'=e^x,f=e^x}$$
$${g'=cosx ,g=sinx}$$とする。
$${e^xsinx-\displaystyle\int_{}{}e^xcosx dx}$$
=$${e^xsinx-\left(e^xcosx+\displaystyle\int_{}{}e^xsinxdx\right)}$$
※もう一度、部分積分をしました。
ここで、$${I=\displaystyle\int_{}{}e^xsinx dx}$$とすると、
$${2I=e^x(sinx-cosx)+C}$$
$${I=\dfrac{e^x(sinx-cosx)}{2}+C}$$（答え）
※積分が無限ループするときは、同じものを見つけて方程式！
これはお決まりのパターンです。
次回は、分数関数の積分について書いてみたいと思います。
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