数学Ⅲ積分の攻略［超基礎編］

数学Ⅲの積分の攻略についてまとめておきます。
この単元は完全パターン化なので、誰でも簡単にできるようになります。
今回は、積分の超基礎編を公開します。
では、勉強していきましょう！

数Ⅲの積分では、絶対に覚えないといけない公式があります。
次の７つの公式は、必ず覚えましょう。

①$${\displaystyle\int_{}^{}x^αdx=\dfrac{1}{α+1}x^{α+1}+C}$$
②$${\displaystyle\int_{}^{}\dfrac{1}{x}dx=log|x|+C}$$
③$${\displaystyle\int_{}^{}e^xdx=e^x+C}$$
④$${\displaystyle\int_{}^{}sinx  dx=-cosx+C}$$
➄$${\displaystyle\int_{}^{}cosx  dx=sinx+C}$$
⑥$${\displaystyle\int_{}^{}\dfrac{1}{cos^2x}dx=tanx+C}$$
⑦$${\displaystyle\int_{}^{}\dfrac{1}{sin^2x}dx=-\dfrac{1}{tanx}+C}$$

次に、積分の基本原理を覚えましょう。

$${\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=\displaystyle\int_{c}^{d}g(t)dt}$$…☆1
$${g(x)=t}$$のとき、$${g'(x)dx=dt}$$…☆2
$${f(x)=g(t)}$$のとき、$${f'(x)dx=g'(t)dt}$$…☆3
$${\displaystyle\int_{}^{}f(g(x))・g'(x)dx=\int_{}^{}f(t)dt}$$…☆4

基本原理に基づいて、基本的な方法で解く練習をしましょう。
慣れると暗算でできるようになりますが、それまでは基本的な方法をくり返しましょう。

練習をしてみましょう。

(1) $${\displaystyle\int_{}^{}\dfrac{1}{5x+8}dx}$$を積分しましょう。

解法
$${t=5x+8}$$とする。

$${dt=5dx}$$⇔$${dx=\dfrac{1}{5}dt}$$

=$${\displaystyle\int_{}^{}\dfrac{1}{t}・\dfrac{1}{5}dt}$$

=$${\dfrac{1}{5}\displaystyle\int_{}^{}\dfrac{1}{t}dt}$$

=$${\dfrac{1}{5}log|t|+C}$$

=$${\dfrac{1}{5}log|5x+8|+C}$$（答え）

(2)$${\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{3x+4}  dx}$$を積分しましょう。

解法
$${t=3x+4}$$とする。

$${dt=3dx}$$⇔$${dx=\dfrac{1}{3}dt}$$

$${\displaystyle\int_{}^{}\sqrt{t}  dx}$$

=$${\displaystyle\int_{}^{}t^{\frac{1}{2}}・\dfrac{1}{3}dt}$$

=$${\dfrac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}・\dfrac{1}{3}+C}$$

=$${\dfrac{2}{9}t^{\frac{3}{2}}+C}$$

=$${\dfrac{2}{9}(3x+4)^{\frac{3}{2}}+C}$$（答え）

(3)$${\displaystyle\int_{}^{}xe^{x^2}  dx}$$を積分しましょう。

解法
$${t=x^2}$$とする。

$${dt=2x  dx}$$⇔$${dx=\dfrac{dt}{2x}}$$

$${\displaystyle\int_{}^{}xe^t  \dfrac{dt}{2x}}$$

=$${\dfrac{1}{2}{\displaystyle\int_{}^{}e^t dt}}$$

=$${\dfrac{1}{2}e^t+C}$$

=$${\dfrac{1}{2}e^{x^2}+C}$$（答え）

(4)$${\displaystyle\int_{}^{}\dfrac{(logx)^2}{x}  dx}$$を積分しましょう。

$${t=logx}$$とする。

$${dt=\dfrac{1}{x}dx}$$⇔$${dx=xdt}$$

$${\displaystyle\int_{}^{}\dfrac{t^2}{x}・xdt}$$

=$${\displaystyle\int_{}^{}t^2 dt}$$

=$${\dfrac{1}{3}t^3+C}$$

=$${\dfrac{1}{3}(logx)^3+C}$$

置き換えて、公式が使えるように工夫すればいいだけですね。
次回は、少し特殊なテクニックがいる積分を紹介します(*‘ω‘ *)

では！

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