数学Ⅲ積分の攻略［分数関数編］

こんにちは。
今回は、分数関数の積分をしたいと思います。
合わせてこちらもご覧ください。

分数関数の積分は、次の２ステップで解決させます。

①（分子の次数）＜（分母の次数）にする
②分母の次数が２次以上の場合
　・カタマリをつくる
　・因数分解できる
　・因数分解できない

この流れで処理していきます。
では、問題をしていきましょう。

(1)$${\displaystyle\int_{}{}\dfrac{8x^3}{2x-1}dx}$$を計算しましょう。

解説
まず、分子の次数が大きいので次数を下げます。
$${8x^3÷(2x-1)}$$を組み立て除法を利用して計算します。

=$${\displaystyle\int_{}{}\left(4x^2+2x+1+\dfrac{1}{2x-1}\right)dx}$$

=$${\dfrac{4}{3}x^3+x^2+x+\dfrac{1}{2}log|2x-1|+C}$$（答え）

(2)$${\displaystyle\int_{}{}\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}dx}$$を計算しましょう。

解説
分母の次数が２次なので、カタマリができないかを考えます。

$${t=x^2+x+1}$$とすると、$${dt=2x+1  dx}$$

$${\displaystyle\int_{}{}\dfrac{1}{t}dt}$$

=$${log|t|+C}$$

=$${log|x^2+x+1|+C}$$

$${x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}>0}$$なので、

$${log(x^2+x+1)+C}$$（答え）

$${t=x^2+x+1}$$、$${dt=2x+1  dx}$$のかたまりを作ることで、今回はたまたま上手くいきました。
上手くいかない場合は、次のステップを考えます。

(3)$${\displaystyle\int_{}{}\dfrac{1}{x^2-1}dx}$$を計算しましょう。

解説
分母が２次で、因数分解ができます。
このときは、部分分数分解をします。

$${\displaystyle\int_{}{}\dfrac{1}{(x+1)(x-1)}dx}$$

=$${\displaystyle\int_{}{}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)dx}$$
※部分分数分解は数学Ⅰの範囲です。

=$${\dfrac{1}{2}log|x-1|-\dfrac{1}{2}log|x+1|+C}$$

=$${\dfrac{1}{2}log\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+C}$$（答え）
※対数の取り扱いは、数学Ⅱの範囲です。

因数分解ができるときは、部分分数分解に持ち込みましょう。

(4)$${\displaystyle\int_{-1}^{0}\dfrac{1}{x^2+2x+2}dx}$$を計算しましょう。

解説
分母が２次で、因数分解ができません。
このときは、カタマリを$${tanθ}$$として考えます。

$${\displaystyle\int_{-1}^{0}\dfrac{1}{(x+1)^2+1}dx}$$とします。

$${tanθ=x+1}$$とすると、$${\dfrac{1}{cos^2θ}dθ＝dx}$$

$${\begin{array}{c|c}x&-1→0\\θ&0→\dfrac{π}{4}\\\end{array}}$$
※文字が変わったら、文字の範囲も変わります。

$${\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{4}}\dfrac{1}{tan^2θ+1}・\dfrac{1}{cos^2θ}dθ}$$

=$${\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{4}}cos^2θ・\dfrac{1}{cos^2θ}dθ}$$

=$${\displaystyle\int_{0}^{\frac{π}{4}}dθ}$$

=$${\left[θ \right]_0^\frac{π}{4} \\}$$

=$${\dfrac{π}{4}}$$（答え）

分母の次数が２次以上のときは、この手順で解きましょう。
三角関数$${tanθ}$$に置き換えることで、簡単に解くことができます。
次回は、「三角関数のみで表される関数の積分」をやってみます。

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