数学Ⅲ積分の攻略［高次の三角関数の積分編］
こんにちは。
今回は、「高次の三角関数の積分」をしたいと思います。
合わせてこちらもご覧ください。
では、勉強していきましょう！
次数が高い三角関数の積分は、次のように対処します。
① 奇数乗がある場合→１個だけ残して置換積分
② 奇数乗がない場合→半角の公式を利用して次数を下げる
(1) $${\displaystyle\int_{}{}sin^4xcosxdx}$$を計算しよう。
解説
奇数乗があるので、１個だけ残して置換積分を目指します。
$${t=sinx}$$とすると、$${dt=cosxdx}$$
$${\displaystyle\int_{}{}t^4dt}$$
=$${\dfrac{1}{5}t^5+C}$$
=$${\dfrac{1}{5}sin^5x+C}$$（答え）
(2)$${\displaystyle\int_{}{}cos^3xdx}$$を計算しよう。
解説
奇数乗があるので、１個だけ残して置換積分を目指します。
$${\displaystyle\int_{}{}cos^2x・cosxdx}$$
=$${\displaystyle\int_{}{}(1-sin^2x)cosxdx}$$と変形。
ここで、$${t=sinx}$$とおくと、$${dt=cosxdx}$$
$${\displaystyle\int_{}{}1-t^2dt}$$
=$${t-\dfrac{1}{3}t^3+C}$$
=$${sinx-\dfrac{1}{3}sin^3x+C}$$（答え）
(3)$${\displaystyle\int_{}{}\dfrac{sin^5x}{cos^5x}dx}$$を計算しよう。
解説
奇数乗があるので、１個だけ残して置換積分を目指します。
$${\displaystyle\int_{}{}\dfrac{sin^4x}{cos^5x}・sinxdx}$$
=$${\displaystyle\int_{}{}\dfrac{(1-cos^2x)^2}{cos^5x}sinxdx}$$
=$${\displaystyle\int_{}{}\dfrac{cos^4x-2cos^2x+1}{cos^5x}sinxdx}$$
ここで、$${t=cosx}$$とおくと、$${dt=-sinxdx}$$なので、
$${-\displaystyle\int_{}{}\dfrac{t^4-2t^2+1}{t^5}dt}$$
=$${-log|t|-\dfrac{1}{2t^2}+\dfrac{1}{4t^4}+C}$$
=$${-log|cosx|-\dfrac{1}{2cos^2x}+\dfrac{1}{4cos^4x}+C}$$（答え）
(4)$${\displaystyle\int_{}{}sin^2xcos^2xdx}$$を計算しよう。
解説
奇数乗がないので、半角の公式を利用して次数を下げます。
$${sin^2x=\dfrac{1-cos2x}{2},cos^2x=\dfrac{1+cos2x}{2}}$$なので、
$${\displaystyle\int_{}{}\dfrac{1-cos2x}{2}・\dfrac{1+cos2x}{2}dx}$$
=$${\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{}{}(1-cos2x)(1+cos2x)dx}$$
=$${\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{}{}1-cos^22xdx}$$
=$${\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{}{}sin^22xdx}$$
=$${\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{}{}\dfrac{1-cos4x}{2}dx}$$
=$${\dfrac{1}{8}\displaystyle\int_{}{}1-cos4xdx}$$
=$${\dfrac{1}{8}x-\dfrac{1}{32}sin4x+C}$$（答え）
次数が高いときは、奇数乗があるかどうかで判断すれば簡単ですね。
計算が少し複雑になるので、間違わないように気をつけましょう！
次回は『積分方程式』について説明したいと思います。
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