企業価値評価：Ohlson[2001]モデル

前回まで議論したOhlson[1995]モデルは、理想的な仮定の下で形成される理論株価として重要な経済的含意を多く有する一方、特定の難しい「その他の情報」を含むという課題も抱えていた。今回は、「その他の情報」に具体的な意味を与え、モデルの実務的な完成度を高めたOhlson[2001]モデルを導出し、その経済的含意を議論する。前回はこちら。

Ohlson[2001]モデル

Ohlson[1995]モデルは、配当割引モデル(DDM)にクリーン・サープラス関係(CSR)と線形情報ダイナミクス(LID)を仮定することで導出される。

Ohlson[1995]モデル：
$${P_t=b_t+\dfrac{\omega_{11}}{1+r-\omega_{11}}x_t^a+\dfrac{1+r}{(1+r-\omega_{11})(1+r-\gamma)}\nu_t}$$

$${=(1-k)b_t+k\bigg(\dfrac{1+r}{r}x_t-d_t\bigg)+\dfrac{1+r}{(1+r-\omega_{11})(1+r-\gamma)}\nu_t}$$

但し、$${k \equiv \dfrac{r\omega_{11}}{1+r-\omega_{11}}>0}$$

線形情報ダイナミクス(LID)：
$${\tilde x_{t+1}^a=\omega_{11}x_{t}^a+\nu_t+\tilde \varepsilon_{1,  t+1}}$$
$${\tilde \nu_{t+1}=\gamma \nu_t+\tilde \varepsilon_{2,  t+1}}$$

Ohlson[1995]モデルはDDMやRIMと異なり、企業価値の算出において将来情報を必要とせず、全て当期の情報のみを用いる。但しその中に次期以降の残余利益創出に寄与する「その他の情報」が含まれている。

Ohlson[1995]モデルが主張するように「その他の情報」が実在するのであれば、株主資本と当期利益のみで作成されたモデルでは推定される結果にバイアスが生じ、企業価値と株主資本簿価の差異がゼロに収束しないことになるが、そのバイアスを確認する上では「その他の情報」を特定する必要があり、定義から特定が難しいという問題をこのモデルは抱えている。

この「その他の情報」の測定困難性の問題を回避し、実証的に操作しやすいモデルへと発展させたのがOhlson[2001]モデルである。Ohlson[2001]モデルでは「直接的に$${\nu_t}$$を観察することはできないが、期待に対する$${\nu_t}$$の影響から$${\nu_t}$$を推定可能であること」が示されている。すなわち、残余利益のLIDについて、$${t}$$時点における合理的期待値をとり、次式を得る。

$${\nu_t=E_t[\tilde x_{t+1}^a]-\omega_{11}x_t^a}$$

上式は、残余利益に関する次期の完全な情報に基づく期待値$${E_t[\tilde x_{t+1}^a]}$$と、次期の残余利益に関する純粋な自己回帰予測$${\omega_{11}x_t^a}$$との差として「その他の情報$${\nu_t}$$」が表現されることを示している。この式をOhlson[1995]モデルに代入することで、次のOhlson[2001]モデルを導出することができる。

Ohlson[2001]モデル
$${P_t=b_t+\dfrac{1}{(1+r-\omega_{11})(1+r-\gamma)}\{-\omega_{11}\gamma x_t^a+(1+r)E_t[\tilde x_{t+1}^a]\}}$$

$${=\beta_1b_t+\beta_2\bigg(\dfrac{1+r}{r}x_t-d_t\bigg)+\beta_3\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}]}{r}}$$

但し、$${\beta_1\equiv \dfrac{(1+r)(1-\omega_{11})(1-\gamma)}{(1+r-\omega_{11})(1+r-\gamma)}>0}$$

$${\beta_2\equiv \dfrac{-r\omega_{11}\gamma}{(1+r-\omega_{11})(1+r-\gamma)}≤0}$$

$${\beta_3 \equiv \dfrac{r(1+r)}{(1+r-\omega_{11})(1+r-\gamma)}>0}$$

より、$${\beta_1+\beta_2+\beta_3=1}$$

Ohlson[2001]モデルの最右辺は、このモデルが株主資本簿価$${b_t}$$、配当控除後の資本化利益$${\dfrac{1+r}{r}x_t-d_t}$$、及び資本化された次期の予想利益$${\dfrac{E_t[\tilde x_{t+1}]}{r}}$$の加重平均として企業価値が表現できることを示している。

Ohlson[2001]モデルでは、Ohlson[1995]モデルにおいて直接的に観察不可能であった当期の「その他の情報」の代わりに次期の予想利益がモデルに組み込まれている。また、予想期間は次期のみであり、次期以降の全予想利益が必要であった残余利益モデル(RIM)とも大きく異なる。

通常次期の予想利益は企業経営者やアナリストによって提供されており、客観的に観察可能な具体的数値としての側面を有する。従ってOhlson[2001]は、実証分析を行う上で操作しやすい評価モデルと言えよう。

Ohlson[2001]モデルとMM命題

Ohlson[2001]モデルを配当$${d_t}$$で微分すると、以下の通り$${\dfrac{\partial P_t}{\partial d_t}=-1}$$が導かれ、Ohlson[1995]モデルと同様に配当中立性が担保される。

Ohlson[2001]モデルの配当中立性
$${\dfrac{\partial P_t}{\partial d_t}=-\beta_1-\beta_2-\beta_3=-1}$$

Ohlson[2001]モデルと成長性変数

Ohlson[2001]モデルの価値関連要素は、3つの当期実績値：$${b_t,  x_t,  d_t}$$と1つの次期予想：$${E_t[\tilde x_{t+1}]}$$だが、このうち当期利益実績$${x_t}$$の係数の符号がゼロ以下であり「当期実績が大きいほど株価にネガティブ」との示唆は直観的に理解しがたい。そこで、次期利益予想を当期実績からの変化で表現した関係式：$${E_t[\tilde x_{t+1}]=x_t+E_t[\Delta\tilde x_{t+1}]}$$を代入した以下のモデルを考察する。

Ohlson[2001]モデルの変形
$${P_t=\beta_1b_t+\beta_4x_t-\beta_2d_t+\beta_3\dfrac{E_t[\Delta\tilde x_{t+1}]}{r}}$$

$${\beta_4\equiv \dfrac{(1+r)(1-\omega_{11}\gamma)}{(1+r-\omega_{11})(1+r-\gamma)}>0}$$

上式は、Ohlson[2001]モデルにおける次期予想利益$${E_t[\tilde x_{t+1}]}$$の代わりに次期の利益変化の期待値$${E_t[\Delta \tilde x_{t+1}]}$$を用いた変形モデルである。両式は数学的には等価だが、実証上はこの変形モデルが次の3つの利点を有する。

第一に、変形モデルの係数は全て正であり、直観的に理解しやすい。つまり、現在までに蓄積した価値創造分$${b_t}$$、現在の価値創出能力$${x_t}$$、$${x_t}$$を所与とした場合の将来における追加的な価値創出能力$${E_t[\Delta\tilde x_{t+1}]}$$、そして株主に対する価値分配能力$${d_t}$$がそれぞれ大きいほど企業価値が増大する。

第二に、多重共線性の緩和が挙げられる。変形モデルでは利益と利益変化のデータが用いられており、Ohlson[2001]に存在する2種類の利益：$${x_t}$$と$${E_t[\tilde x_{t+1}]}$$の間に存在し得る多重共線関係を緩和させる効果に期待できる。

第三に、実績データによる代理可能性の向上である。Ohlson[2001]モデルでは独立変数として次期予想利益データを必要とするが、一般にはデータ数やアクセスの制約、収集に係る追加作業を想定しなければならない。この収集コストを飛躍的に低下させるための1つの手法は、予想値を一般的な財務データベースから抽出可能な実績値で代理することである。この場合、次期予想利益の代理変数として、どのような候補が考えられるであろうか。

• 利益がランダム・ウォークに従うとの仮定を置く場合
  上記のような利益に関する最も単純な仮定を置くと「次期利益の期待値=当期利益」となる。この場合次期利益の推定は不要となるが、一般に予想利益の価値関連性は最も高いと見られるため、この仮定により財務諸表データの価値関連性が過小評価されるリスクがある

• 過去利益から次期利益の期待値を推定する場合
  次期利益を推定するための最も直感に合致した方法に思えるが、推定値が「利益」のため、当期純利益との間の多重共線性が再び問題となる。従って、実績値に基づく利益の代理変数の採用は実務上非常に困難である

• 過去の利益変動を加味して利益変化を推定する場合
  次期の利益変化の代理変数として、当期の利益変化、もしくは過去の利益変動を加味した利益変化を用いる場合、利益変化を「成長性」の尺度と解釈すれば、いくつかの代理変数候補が考えられる。
  例えば「売上高成長率」は最も有力な変数の一つと考えられる。増収が直ちに増益に結び付くわけではないものの、利益形成の基礎ではある。さらに売上高成長は利益変化よりも一般に安定性が高く、分析上も有利である

このように、Ohlson[2001]モデル及びその変形モデルは、実証上の多くの優位性を有しているため、石田(2007)を始めとする多くの実証研究に用いられている。Ohlson[2001]モデルの展開により「次期の予想利益」という新たな情報変数を通してではあるが、企業価値評価における「その他の情報」の重要性が認知されるようになった。とりわけ、経営者による業績予想の開示が定着している日本では、その利益予想値の追加的な情報内容が非常に大きいことが明らかになっている。

次回は、Ohlson[1995]モデルの別の発展形である、Feltham-Ohlson[1995]モデルに関する理解を深める。