世界の法則を知るために－微分・積分とは？積分の応用例(4)

半径が$${ r}$$の球の体積を$${ V}$$、表面積を$${ S}$$とし、定積分を使った回転体の体積の求め方を使うと球の体積の公式、
$${ \displaystyle V=\dfrac{4}{3}\pi r^3}$$
を求めることができます。
また球の表面積の公式は、
$${ S=4 \pi r^2}$$
となります。
今回は、最終目標としていた球の表面積の公式を求めます。
この公式は、

ちょっとだけ有料化に興味があるんですが
数式を入力してグラフ化できるAndroidスマホアプリで
商用利用できるものの、おすすめあったら教えていただきたいです
今はgeogebra使ってますがライセンスを買わないと商用利用できないようなので

世界の法則を知るために－微分・積分とは？積分の応用例(3)

ある関数$${ y}$$と$${ x}$$軸で囲まれた部分の、$${ x}$$が$${ a}$$から$${ b}$$までの範囲を、$${ x}$$軸のまわりに一回転させた回転体の体積を$${ V}$$とすると、
$${\displaystyle V=\int_a^b{\pi y^2 dx}}$$
となります。
今回はこの式を使って、最終目標の１つである球の体積の公式を求めます。
球の体積の公式は中

世界の法則を知るために－微分・積分とは？積分の応用例(2)

ある関数$${ y}$$と$${ x}$$軸で囲まれた部分の、$${ x}$$が$${ a}$$から$${ b}$$までの範囲を、$${ x}$$軸のまわりに一回転させた回転体の体積を$${ V}$$とすると、
$${\displaystyle V=\int_a^b{\pi y^2 dx}}$$
となります。
今回はこの式を使って、具体例として円柱、円錐の体積を求めます。
また、これらの結果と中学

世界の法則を知るために－微分・積分とは？積分の応用例(1)

積分により、いろいろな面積を求めることができます。
このいろいろな面積を求められることから、例えば等速直線運動ではなく、速さがいろいろな変化をする場合の距離を求められます。
この例のように積分は、物理で使われることがありますが、積分を利用すると他にも求められるものがあります。
この積分の応用例では積分を利用した他の求められるものの例として、回転体の体積の求め方について解説します。
また、回転体の体

世界の法則を知るために－微分・積分とは？微分の応用例(2)

ある関数$${ y}$$を微分したものである、
$${ \dfrac{d y}{d x}}$$
は接線の傾きとなり、これがプラス、ゼロ、マイナスのどの場合となるかの$${ x}$$の値を調べると、複雑な形のグラフを書くことができます。
今回はこのことを使って、複雑な形のグラフの書き方を解説します。
具体的に最終目標としていた、
$${ y=-2x^2+8x-3}$$
のグラフを書いてみましょう。

世界の法則を知るために－微分・積分とは？微分の応用例(1)

微分では微小変化、積分ではいろいろな面積を求められます。
しかし具体的に何に使えるのか等、よくわからないと思います。
このため、微分・積分の応用例について書いていきます。
今回は、微分の応用例について書きます。
ある関数を微分したものは微小変化となるだけではなく、重要なものである接線の傾きでもあります。
今回はなぜ接線の傾きとなるのか、この接線の傾きがなぜ重要なものかについて書いていきます。
具体

世界の法則を知るために－微分・積分とは？⑱積分の計算方法(7)

前回は、定積分が面積になることの紹介と、具体例を使った確認をしました。
また具体例を他の方法で解き、
$${\displaystyle S=\int_a^b{y}dx}$$
のような定積分は$${ x}$$の範囲が、
　 $${ 0}$$から上端までの面積$${ -}$$$${ 0}$$から下端までの面積
という計算をしていることを書きました。
今回は、定積分が面積になることの証明をします。
この

世界の法則を知るために－微分・積分とは？⑰積分の計算方法(6)

前回は、定積分の記号や計算方法、最終目標としていた、
$${ y=2x^3-3x^2+4x-5}$$
の定積分の計算が、
$${ \displaystyle \int_2^4{y}dx}$$
$${=\left[ \dfrac{1}{2}x^{4}-x^{3}+2x^{2}-5x \right]_2^4}$$
$${=\left( \dfrac{1}{2}×4^{4}-4^{3}+2×4^{2}-

世界の法則を知るために－微分・積分とは？⑯積分の計算方法(5)

次の、
$${ y=2x^3-3x^2+4x-5}$$
を不定積分すると、
$${\displaystyle \int{ydx}= \dfrac{1}{2}x^{4}-x^{3}+2x^{2}-5x+C}$$
となります。
積分定数である$${ C}$$を忘れないようにしましょう。
今回はこの不定積分ではなく、定積分について書きます。
特に定積分の計算は、不定積分ができなければ計算ができません。

世界の法則を知るために－微分・積分とは？⑮積分の計算方法(4)

不定積分の公式から、
$${ n=1,2,3, \cdots}$$
のとき、
$${ y=x^n}$$
を不定積分すると、
$${\displaystyle \int{x^n dx}=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C}$$
となり、
$${ y=1}$$
のような定数のとき不定積分をすると、
$${\displaystyle \int{dx}=x+C}$$
となります。
このとき積分

世界の法則を知るために－微分・積分とは？⑭積分の計算方法(3)

不定積分は、微分と逆の計算の関係となることから、
$${ y=x^2,y=1}$$
の不定積分をすると、
$${\displaystyle \int{x^2dx}=\dfrac{1}{3}x^3+C}$$
$${\displaystyle \int{dx}=x+C}$$
となり、このとき積分定数である$${ C}$$が必要となります。
しかし、普通はこのような方法で不定積分をしません。
不定積分の

世界の法則を知るために－微分・積分とは？⑬積分の計算方法(2)

微分と不定積分は逆の計算の関係となり、

$${ \displaystyle y \xtofrom[xで不定積分をする]{xで微分をする} \dfrac{ d y}{ d x}}$$

のように表すことができます。
また、
$${ y}$$を$${ x}$$で不定積分するを、
$${\displaystyle \int{ydx}}$$
のように数式で表します。
今回は具体例として、
$${ y=

世界の法則を知るために－微分・積分とは？⑫積分の計算方法(1)

前回までで、
$${ y=2x^3-3x^2+4x-5}$$
のような多項式について、
$${ y}$$を$${ x}$$で微分する
と、
$${\displaystyle \dfrac{ d y}{ d x}=6x^2-6x+4}$$
となることがわかりました。
今回から、積分の計算方法について書きます。
積分には、不定積分と定積分と呼ばれる２種類あります。
まずは、この不定積分について書いてい

世界の法則を知るために－微分・積分とは？－⑪微分の計算方法(6)

微分は$${ n=2,3,4, \cdots}$$、$${ a}$$を定数とした場合、
$${ y=x^n}$$
のときは微分の公式を使い、
$${\displaystyle \dfrac{ d y}{ d x}=nx^{n-1}}$$
となり、
$${ y=x}$$
のような一次式のとき、
$${\displaystyle \dfrac{ d y}{ d x}=1}$$
となり、
$${ y=a

世界の法則を知るために－微分・積分とは？－⑩微分の計算方法(5)

変化の割合や$${ \Delta x}$$を$${ 0}$$に限りなく近づけるという計算により、$${ a}$$を定数として、
$${y=x^2,y=x,y=a}$$
の微分をすると、
$${\displaystyle \dfrac{ d y}{ d x}=2x,\dfrac{ d y}{ d x}=1,\dfrac{ d y}{ d x}=0}$$
のように微小変化が求められます。
しかし、普通