世界の法則を知るために－微分・積分とは？⑭積分の計算方法(3)

不定積分は、微分と逆の計算の関係となることから、
$${ y=x^2,y=1}$$
の不定積分をすると、
$${\displaystyle \int{x^2dx}=\dfrac{1}{3}x^3+C}$$
$${\displaystyle \int{dx}=x+C}$$
となり、このとき積分定数である$${ C}$$が必要となります。
しかし、普通はこのような方法で不定積分をしません。
不定積分の公式を使います。
今回は、不定積分の計算でよく使われる不定積分の公式の紹介と証明をします。

不定積分の公式

微分に公式があったように、不定積分にも公式があります。
次の、
$${ y=x^2}$$
の不定積分は、
$${\displaystyle \int{x^2 dx}=\dfrac{1}{3}x^3+C}$$
となります。
不定積分の結果には、$${ C}$$という積分定数があることに注意しましょう。
このときと同じように、
$${ y=x^3,y=x^4,y=x^5}$$
をそれぞれ不定積分すると、
$${\displaystyle \int{x^3 dx}=\dfrac{1}{4}x^4+C}$$
$${\displaystyle \int{x^4 dx}=\dfrac{1}{5}x^5+C}$$
$${\displaystyle \int{x^5 dx}=\dfrac{1}{6}x^6+C}$$
となります。
これらの結果から、
$${ n=1,2,3, \cdots}$$
のとき、
$${ y=x^n}$$
を不定積分すると、
$${\displaystyle \int{x^n dx}=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C}$$
となります。
これは微分と同じように、高校生は必ず覚える不定積分の公式となっています。
この不定積分の公式の使い方は、

1. $${ y=x^n}$$の指数部分の$${ n}$$に$${ 1}$$を足して、$${x^{n+1} }$$とする

2. $${x^{n+1} }$$の指数部分の逆数を掛けて、　　　$${ \dfrac{1}{n+1} × x^{n+1}}$$とする

3. $${ \dfrac{1}{n+1} × x^{n+1}}$$に積分定数である$${ C}$$を足して、$${ \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C}$$とする

のようになります。
よくある覚え方として、
指数部分を$${ +1}$$して、この逆数を掛けて、$${ C}$$を足す
というようなものがあります。
この不定積分の公式を、
$${ y=x^2}$$
に使ってみましょう。

1. $${ y=x^2}$$の指数部分の$${ 2}$$に$${ 1}$$を足して、$${x^{2+1} }$$とする

2. $${x^{2+1} }$$の指数部分の逆数を掛けて、　　　$${ \dfrac{1}{2+1} × x^{2+1}}$$とする

3. $${ \dfrac{1}{2+1} × x^{2+1}}$$に積分定数である$${ C}$$を足して、$${ \dfrac{1}{2+1}x^{2+1}+C}$$とする

これらより、
$${ \dfrac{1}{2+1}x^{2+1}+C= \dfrac{1}{3}x^{3}+C}$$
となるので、
$${\displaystyle \int{x^2 dx}=\dfrac{1}{3}x^3+C}$$
と同じとなることが確認できます。
ここで、
$${ y=1}$$
の不定積分を考えてみましょう。
この場合は、$${ x}$$が無いので不定積分の公式、$${\displaystyle \int{x^n dx}=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C}$$
が使えません。
このときは前回のように、
$${\displaystyle \int{dx}=x+C}$$
となります。

不定積分の公式の証明

不定積分の公式、
$${\displaystyle \int{x^n dx}=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C}$$
の証明をしてみましょう。
微分の公式の場合は、難しいので証明はしませんでした。
しかし不定積分の公式の場合は、証明が簡単にできます。
不定積分は、微分の逆の計算なので不定積分の公式、
$${\displaystyle \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C}$$
を微分すると、
$${\displaystyle \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C \right)=x^n}$$
のように、
$${\displaystyle \int{x^n dx}}$$
の$${ \int{dx}}$$の中の関数である$${ x^n}$$に戻ります。
このことを利用して証明をします。
この微分は、$${ n,C}$$は定数であることに注意して、
$${\displaystyle \dfrac{d}{dx} \left( x^{n+1} \right)=(n+1)×x^{n+1-1}=(n+1)x^n}$$
$${\displaystyle \dfrac{d}{dx}C =0}$$
となるので、
$${\displaystyle \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C \right)}$$
$${=\displaystyle \dfrac{1}{n+1}×(n+1)x^n+0}$$
$${ =x^n}$$
となります。
このことから、
$${\displaystyle \int{x^n dx}=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C}$$
の証明ができました。
不定積分は微分の逆の計算なので、不定積分の結果を微分すると、$${ \int{dx}}$$の中の関数に戻ります。
このことから学び始めのときは特に、不定積分の結果を微分して戻るか確認しましょう。
このようにすると、微分の計算に慣れることもできます。

まとめ

今回は、不定積分の公式について書きました。
特に、
$${ n=1,2,3, \cdots}$$
のとき、
$${ y=x^n}$$
を不定積分すると、
$${\displaystyle \int{x^n dx}=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C}$$
となり、
$${ y=1}$$
のような定数のとき不定積分すると、
$${\displaystyle \int{dx}=x+C}$$
となることはよく使います。
このとき積分定数を忘れないようにしましょう。
また学び始めのときは特に、不定積分の結果を微分して戻るか確認し、微分の計算に慣れるようにしましょう。
微分の計算は、速く計算できるようになる必要があります。

次回は、不定積分の法則について書きます。
この法則は、微分のときと同じような内容となります。
この法則により最終目標としていた、
$${ y=2x^3-3x^2+4x-5}$$
の不定積分ができるようになります。