世界の法則を知るために－微分・積分とは？⑮積分の計算方法(4)

不定積分の公式から、
$${ n=1,2,3, \cdots}$$
のとき、
$${ y=x^n}$$
を不定積分すると、
$${\displaystyle \int{x^n dx}=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C}$$
となり、
$${ y=1}$$
のような定数のとき不定積分をすると、
$${\displaystyle \int{dx}=x+C}$$
となります。
このとき積分定数を忘れないようにしましょう。
今回は、不定積分の法則について書きます。
この法則は、微分のときと同じような内容となります。
この法則を使うと最終目標としていた、
$${ y=2x^3-3x^2+4x-5}$$
の不定積分ができるようになります。

不定積分の法則

次の、
$${ y=2x^3-3x^2+4x-5}$$
の不定積分を考えてみましょう。
このとき微分の法則と同じように、項ごとにバラバラに考える、係数と変数をバラバラに考えるということを使うことができます。
これらから、
$${ y=2x^3-3x^2+4x-5}$$
の不定積分は、
$${ 2x^3,-3x^2,4x,-5}$$
の各項を不定積分してから足せば良いとなります。
次に、
$${ 2x^3,-3x^2,4x,-5}$$
という各項は、
$${ 2x^3}$$を$${ 2}$$と$${ x^3}$$
$${ -3x^2}$$を$${-3}$$と$${ x^2}$$
$${ 4x}$$を$${ 4}$$と$${ x}$$
のように、係数と変数をバラバラに考えます。
これらの変数部分、
$${ x^3,x^2,x}$$
の不定積分は、
$${\displaystyle \int{x^n dx}=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C}$$
の不定積分の公式を使って、
$${\displaystyle \int{x^3 dx}=\dfrac{1}{4}x^{4}+C_1}$$
$${\displaystyle \int{x^2 dx}=\dfrac{1}{3}x^{3}+C_2}$$
$${\displaystyle \int{x dx}=\dfrac{1}{2}x^{2}+C_3}$$
となります。
ここで$${ C_1,C_2,C_3}$$は、各不定積分の計算をしたときの積分定数を表しています。
これらに係数を掛けて、
$${\displaystyle \int{2x^3 dx}}$$
$${=2× \left(\dfrac{1}{4}x^{4}+C_1 \right)}$$
$${=\dfrac{1}{2}x^{4}+2C_1}$$
$${\displaystyle \int{(-3x^2) dx}}$$
$${=-3× \left(\dfrac{1}{3}x^{3}+C_2 \right)}$$
$${=-x^{3}-3C_2}$$
$${\displaystyle \int{4x dx}}$$
$${=4× \left(\dfrac{1}{2}x^{2}+C_3 \right)}$$
$${=2x^{2}+4C_3}$$
となります。
ここで残りの、
$${\displaystyle \int{(-5) dx}}$$
を考えてみましょう。
このときは、
$${ -5=-5×1}$$
と考えます。
このとき積分定数を$${ C_4}$$として、
$${\displaystyle \int{dx}=x+C_4}$$
となり係数を掛けて、
$${\displaystyle \int{(-5)dx}=-5×(x+C_4)=-5x-5C_4}$$
となります。
これらから各項の不定積分は、
$${\displaystyle \int{2x^3 dx}=\dfrac{1}{2}x^{4}+2C_1}$$
$${\displaystyle \int{(-3x^2) dx}=-x^{3}-3C_2}$$
$${\displaystyle \int{4x dx}=2x^{2}+4C_3}$$
$${\displaystyle \int{(-5)dx}=-5x-5C_4}$$
となります。
これらを足して、
$${ y=2x^3-3x^2+4x-5}$$
の不定積分は、
$${\displaystyle \int{ydx}}$$
$${= \dfrac{1}{2}x^{4}+2C_1-x^{3}-3C_2}$$
　$${+2x^{2}+4C_3-5x-5C_4}$$
$${=\dfrac{1}{2}x^{4}-x^{3}+2x^{2}-5x}$$
　$${+(2C_1-3C_2+4C_3-5C_4)}$$
となります。
ここで、
$${C=2C_1-3C_2+4C_3-5C_4}$$
として、
$${\displaystyle \int{ydx}= \dfrac{1}{2}x^{4}-x^{3}+2x^{2}-5x+C}$$
のように積分定数を１つの文字でまとめ、最終的な計算結果とします。
また最終的にはこのようにするため、
$${\displaystyle \int{2x^3 dx}=\dfrac{1}{2}x^{4}}$$
$${\displaystyle \int{(-3x^2) dx}=-x^{3}}$$
$${\displaystyle \int{4x dx}=2x^{2}}$$
$${\displaystyle \int{(-5)dx}=-5x}$$
のように、各項の不定積分をするときは積分定数のことは考えません。
これらを足して、
$${\displaystyle \int{ydx}= \dfrac{1}{2}x^{4}-x^{3}+2x^{2}-5x}$$
としてから、
$${\displaystyle \int{ydx}= \dfrac{1}{2}x^{4}-x^{3}+2x^{2}-5x+C}$$
のように最後に積分定数を足して、最終的な計算結果とします。
このとき、このようにして良いのかと思うかもしれません。
ここで積分定数を足す理由は、どんな数でも良い定数を足さなければならないからとなります。
重要なのは、定数であればどんな数でも良いということです。
このことから、最後に積分定数である$${ C}$$を足せば良いとなります。

まとめ

今回は最終目標としていた、
$${ y=2x^3-3x^2+4x-5}$$
の不定積分をしました。
この不定積分をするには微分と同じように、項ごとにバラバラに考える、係数と変数をバラバラに考えるという不定積分の法則を使います。
この不定積分の法則と不定積分の公式により、
$${ y=2x^3-3x^2+4x-5}$$
の不定積分は、
$${\displaystyle \int{ydx}= \dfrac{1}{2}x^{4}-x^{3}+2x^{2}-5x+C}$$
となります。
このとき積分定数は、各項の不定積分をするときは考えないで、最後に足すだけで良いことに注意しましょう。

今回で、不定積分の計算方法について終わりとなります。
次回からは、定積分について解説します。
定積分は、記号や計算方法が不定積分に似ています。
特に定積分の計算では、不定積分の計算方法を理解している必要があります。
次回からは、不定積分の計算を理解しているとして書いていきます。