世界の法則を知るために－微分・積分とは？⑫積分の計算方法(1)

前回までで、
$${ y=2x^3-3x^2+4x-5}$$
のような多項式について、
$${ y}$$を$${ x}$$で微分する
と、
$${\displaystyle \dfrac{ d y}{ d x}=6x^2-6x+4}$$
となることがわかりました。
今回から、積分の計算方法について書きます。
積分には、不定積分と定積分と呼ばれる２種類あります。
まずは、この不定積分について書いていきます。
不定積分を理解するためには、微分の計算ができる必要があります。
今回以降は、多項式の微分はできることを前提とするので、場合によっては微分の計算を読み直してみてください。
最終目標としては、
$${ y=2x^3-3x^2+4x-5}$$
の不定積分、定積分の計算ができることとします。

不定積分と定積分

積分には、不定積分と定積分の２種類あります。
一言で表すと不定積分は微分の逆の計算、定積分はいろいろな面積を求める計算となります。
この定積分をするには、不定積分の計算ができるようになる必要があります。
また不定積分をするには、逆の計算とは何かを理解する必要があります。
つまり、定積分でいろいろな面積を求めるには、逆の計算とは何かを理解する必要があります。
このことから、まず逆の計算とは何かから書いていきます。

逆の計算

逆の計算とは何かということを、足し算を例に解説します。
$${7+5=12 }$$
という計算を考えてみましょう。
この計算で、間違いがないか確認するために、
$${ 12-5=7}$$
という計算をしたことがあると思います。
このような計算が逆の計算です。
これらを図で表すことを考えます。
この、
$${7+5=12 }$$
は、
$${ 7}$$を$${ 5}$$で足し算をすると$${ 12}$$となる
ということを表しています。
このことを、

$${ 7\xrightarrow[]{5で足し算をする}12}$$

と表すことにします。
これに逆の計算を追加することを考えます。
このとき逆の計算は、

• 逆向きの矢印を使う

• 足し算をすることを逆の計算に変える

ということを追加し、

$${ 7\xtofrom[5で引き算をする]{5で足し算をする}12}$$

と表すことにします。
この足し算のとき、逆の計算は引き算になります。
ここで、逆の計算で間違いがないか確認するときは、
$${7+5=12 }$$
の計算結果である$${ 12}$$、さらに$${ 5}$$を使って逆の計算をすると、$${ 7}$$という計算前の数字に戻ります。
このことを利用して、計算の確認ができます。
この、

$${ 7\xtofrom[5で引き算]{5で足し算}12}$$

のような表し方を使い、不定積分とはどのような計算か考えていきます。

不定積分

次の、

$${ 7\xtofrom[5で引き算をする]{5で足し算をする}12}$$

を、微分の場合で考えてみましょう。
微分は、
$${ y}$$を$${ x}$$で微分をすると$${\displaystyle \dfrac{ d y}{ d x}}$$となる
となります。
このとき、
$${7+5=12 }$$
を、

$${ 7\xrightarrow[]{5で足し算をする}12}$$

と表したときと同じようにすると、

$${\displaystyle  y \xrightarrow[]{xで微分をする} \dfrac{ d y}{ d x}}$$

となります。
これに逆の計算を追加することを考えてみましょう。
このとき、

• 逆向きの矢印を使う

• 微分をすることを逆の計算に変える

とすれば良いので、

$${ \displaystyle  y \xtofrom[xで不定積分をする]{xで微分をする} \dfrac{ d y}{ d x}}$$

となります。
ここで、微分をするの逆の計算を不定積分をするとしています。
つまり不定積分は、

$${\displaystyle \dfrac{ d y}{ d x} \xrightarrow[]{xで不定積分をする} y}$$

となります。
これは、
$${\displaystyle \dfrac{ d y}{ d x}}$$を$${ x}$$で不定積分すると$${ y}$$となる
ということを表しています。

不定積分の記号

微分と同じように、不定積分にも数式で表すための記号があります。
微分の場合は、
$${ y}$$を$${ x}$$で微分をする
を、
$${\displaystyle \dfrac{ d y}{ d x}}$$
と数式で表します。
不定積分の場合は、
$${ y}$$を$${ x}$$で不定積分をする
を、
$${\displaystyle \int{ydx}}$$
と数式で表します。
この式で$${ \int}$$はインテグラルと読み、不定積分することを表しています。
また$${ dx}$$の$${ x}$$は、不定積分の計算をどの文字でするかを表しています。
このことは微分の記号、
$${\displaystyle \dfrac{ d y}{ d x}}$$
にある$${ dx}$$と同じになります。
ここで微分の場合、
$${ y}$$を$${ x}$$で微分をする
を、
微分する
と言うことと同じように不定積分の場合、
$${ y}$$を$${ x}$$で不定積分をする
を、
不定積分する
と言うこともできます。
また微分の場合、
$${ y=x^3+5x}$$
のとき、
$${\displaystyle \dfrac{ d }{ d x}(x^3+5x)}$$
と表すことと同じように不定積分の場合、
$${\displaystyle \int{(x^3+5x)dx}}$$
のように表すこともできます。

まとめ

今回は、不定積分と定積分という２種類の積分のうち、微分の逆の計算である不定積分とは何かについて書きました。
この微分と不定積分の関係は、

$${ \displaystyle  y \xtofrom[xで不定積分をする]{xで微分をする} \dfrac{ d y}{ d x}}$$

のように表すことができます。
また、
$${ y=x^3+5x}$$
を、
$${ y}$$を$${ x}$$で不定積分する、不定積分する
ことを、
$${\displaystyle \int{ydx}, \int{(x^3+5x)dx}}$$
のように、インテグラルと読む$${ \int}$$を使って数式で表します。
次回は具体例として、
$${ y=x^2,y=1}$$
のような$${y}$$が二次式、定数の場合の不定積分をします。
このときに、不定積分は微分の逆の計算であることを使います。
特に、逆の計算とは何かを理解しておきましょう。