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ある一つの方程式で晴れ/雨、と決まる、という意味ではありません。ある位置・高度での局所的な大気の状態を決める複数の支配方程式（偏微分方程式の形をしている）を仮定して、スーパーコンピューターでシミュレーションする「数値予報」という手法が、天気予報に用いられている、という意味だと思います。つまり、大気の物理法則を偏微分方程式で表し、その方程式をシミュレーションした結果として、ある時点での大気の様子の予想状態は、「偏微分方程式の解」と言えなくはないと思います。
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