ある一つの方程式で晴れ/雨、と決まる、という意味ではありません。ある位置・高度での局所的な大気の状態を決める複数の支配方程式(偏微分方程式の形をしている)を仮定して、スーパーコンピューターでシミュレーションする「数値予報」という手法が、天気予報に用いられている、という意味だと思います。つまり、大気の物理法則を偏微分方程式で表し、その方程式をシミュレーションした結果として、ある時点での大気の様子の予想状態は、「偏微分方程式の解」と言えなくはないと思います。
予報の方法に依ります。
例えば。
物理的に運動をシミュレートして予報する場合、それは(偏)微分方程式を逐次的に解くことになるので、質問文に記載の通りとなります。
他に、例えば。
特定の月における、前日の夜の天気が晴れの場合の次の日の晴れの確率は、それまでのデータと割り算で検討できますよね。
以下、情報を追記。メッシュの荒さや観測箇所の問題の他、街がどのぐらい熱を出すのかといった不確定要素もあり、なかなか複雑な分野。
・気象庁の予測方法
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