学校で教えてくれない数学の公式。 誰でも簡単にローンや残クレの返済金額を求めるための記事
年賦償還率(元利均等償還率)とは
初めまして。
私は車やバイクの購入のためローンや残価設定ローン(残クレ)を組んだ時、住宅ローンを組んだ時、または銀行でお金を借りた時の分割払いの返済金額がどのように決まるのか疑問に思っていました。
分割払いの返済金額は借入金へ年賦償還率(元利均等償還率)を掛けることで求めることができます。
年賦償還率はローンの返済年数をN年、実質年率をrとして一般に式(1)で表されます。
また、一年辺りの返済金額x円は、借入金をL円として式(2)で表されます。
年賦償還率=r(1+r)^N/ {(1+r)^N-1} (1)
x=L*年賦償還率 (2)
N:ローンの返済年数(返済回数)
r:実質年率(例えば実質年率が1%の場合はr=0.01)
x:一年辺りの返済金額(円)
L:借入金(loans payable)(円)
年賦償還率は、大学受験の有名な問題集であるチャートの等比数列の範囲においても取り扱われております。
また、FPの「ファイナンシャルプランニングの基礎知識」の分野では資本回収係数という言葉が出てきます。
資本回収係数は年数や実質年率を元に計算した年賦償還率の値であり借入金に掛けることで毎年の返済金額を簡単に計算できます。
しかし、資本回収係数表に掲載されている数値以外は計算できないのが不便です。
本記事の目的
分割払いをするための年賦償還率(元利均等償還率)は冒頭で述べた通りですが、式(2)は一年に一回のペースで返済することを想定しており例えば一カ月に一回のペースで返済する計算には適用できません。
さらに、現代では残価設定ローン(残クレ)という返済方法があり、例えば車の場合は一定の未払い残額まで返済した後、残額をまとめて返済する、残額を再度分割してローン返済する、車両をディーラーへ返却する、新車購入の下取りにするなどの選択肢があります。
しかしながら、式(2)は完済を前提としているため残価設定ローンのような一定の未払い残額を残してローンを返済する計算には適用できません。
これらを背景として、本記事では一般に知られている年賦償還率(元利均等償還率)の式(2)を拡張してローンの返済を一年間に任意の回数に設定できる公式、さらに残価設定ローン(残クレ)の場合の返済金額を求めるための公式を導きそれらを活用することを目的とします。
また、併せてローンの支払総額や分割払手数料(利息)の総額も求めていきます。
ちなみに、インターネットで検索をするとローンの返済金額を計算するシミュレーターはすぐに見つかります。
多くの方々はこれを使えば解決です。
例えば、「keisan生活」や「実務で役立つ計算サイト」があります。
したがって、本記事の読者は下記の方々を想定しています。
ローンや残価設定ローン(残クレ)の分割払いの返済金額を関数電卓一つで計算したい方
エクセルの関数やインターネットで普及しているシミュレーターの計算結果と数学的な公式による計算結果を比較して答え合わせをしたい方
取引先から提示されたローンの見積金額が正しい金額であるかどうか精査したい方
単純に数学的興味がある方
公式を導いた後、例題として皆さんの生活で想定される事例を取り上げ具体的な計算例を示していきます。
本記事で扱う数学のレベルは高校～大学の初等レベルになりますが数学を勉強する機会がなかった方々にも理解頂けるように解説を進めるつもりです。
また、説明不足なところは補足を加えることで本記事を改訂していきますのでどしどしコメントください。
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