【受験生必読！】ある数が素数かそうでないか素早く見抜くコツ｜倍数のセンス

☆2021は素数じゃない？

早速ですが問題です。

🌸2021は素数である？

正解は✖

2021は素因数分解すると

2021＝43×47

になります。この結果は覚えておきましょう。西暦に因（ちな）んだ問題は意外と出ています。

応用例としては、こんな二次方程式が出たら一瞬で解けるように。

ｘ^2 －４ｘ－2021＝０

☆倍数のセンスは重要！

2021＝43×47を覚えておくことも重要なのですが、2021が３などの簡単な数字では割れないということを一瞬で見抜けるセンスも重要です。何の倍数かを見分ける（＝約数をみつける）技術は、算数・数学において非常に重要です。

以下、身につけておきたい倍数のセンスをまとめておきます。

🌸２の倍数（偶数）
これは簡単です。１の位だけ見ればいいです。１の位が偶数であれば、その数自体も偶数です。2021は１の位が奇数ですから、2021も奇数です。

🌸各位の数の和が３で割れれば、その数も３で割れる！
これは重要知識ですよ。

2021の各位の和を求めてみましょう。2+0+2+1＝５

５は３の倍数ではないので、2021は３の倍数ではありません。

ちなみに2019は、2+0+1+9＝12

12は３の倍数です。従って、2019も３の倍数、つまり３で割れるのです！

試しに割ってみましょう。2019÷３＝673

ね？割れたでしょう。

ちなみに、673は素数なので、2019＝３×673

これで素因数分解は終わりです。

なお、この裏技が使えるのは、実用的な範囲では３の倍数と９の倍数だけです。

どの数でも成り立つわけではありませんので気をつけてください。

数学が得意な方や難関校を受ける方は、なぜこの方法で３の倍数がわかるのか、文字を使って証明してみるととても勉強になります。

🌸４の倍数
下２ケタだけ見てください。下２ケタが４で割れれば、その数自体も４で割れます。

例えば、2020は、20が４で割れますから2020も４で割れます。

🌸５の倍数
これも簡単。１の位が０か５であれば、その数は５の倍数です。

🌸６の倍数
これは、６＝２×３であることを利用します。

つまり、２の倍数でも３の倍数でもあれば、その数は６の倍数なのです。

例えば2028を考えてみます。１の位が偶数ですから２の倍数です。

そして、2+0+2+8＝12ですから、３の倍数でもあります。

ということは、６の倍数でもあるということになります。

確かめてみましょう。2028÷６＝338　割り切れました！

🌸８の倍数
下３ケタが８で割れるかを調べてください。

例えば、2200は下３ケタの200が８で割れますから、2200も８で割れます。

2200÷８＝275ですね。

🌸９の倍数
３の倍数と同じ手法が使えます。

4167の各位の数字の和を考えてみると、4+1+6+7＝18となり、18は９の倍数ですから4167は９で割れます。

4167÷９＝463です。

🍃おまけ
このくらい知っておけば十分ですが、もう少しだけ補足します。

🌸10の倍数は、１の位が０かどうかを見るだけです。

🌸７の倍数、11の倍数、13の倍数は知ってないとなかなか気づきにくいので、一度調べておくとよいですよ。７、14、21…という感じで200くらいまでやっておくとよいです。

例えば、147＝7×7×3、209＝11×19、91＝7×13、143＝11×13

あたり、パッと思いつけると算数・数学はかなり有利ですよ。

ちなみに、

🌸1001＝７×11×13

というのも知っておくと役立つかもしれません。

☆100までの素数の探し方

以上のことがマスターできたことを前提として、入試までに一度、100までの素数を実際に求めておくと理解が深まります。一瞬でできます。

まず、以下のような100までの表を用意してください。

（エクセルを使えばすぐ作れますが、この画像をプリントアウトしても結構です）

では、実際にやってみてくださいね。

🌸Step1　１は素数ではないのでバツで消します。（←意外と間違えて１を素数だと思っている人が多いので注意！）

🌸Step2　２・３・５・７は素数なので〇をつけて残します。

🌸Step3　２以外の２の倍数（偶数）は素数ではありません。すべてバツで消していってください。（縦に線を引いてしまうと早いです）

🌸Step4　５以外の５の倍数（偶数）は素数ではありません。すべてバツで消していってください。10の倍数は既にStep3で消えていますので、実際には15以下を縦に線引けばOKです。

ここまでは簡単だと思いますが、ここから先は間違えないように注意深くやっていく必要があります。

🌸Step5　３以外の３の倍数も素数ではありません。すべてバツで消していってください。

🌸Step6　最後に、７以外の７の倍数をすべてバツで消していってください。といっても、既にほとんど消えているので、実際にこのステップで消すべきものは多くはないです（２つしかなかったハズです…）。間違えないように慎重に…。

以上で終了です。

現時点で、バツで消されてないものはすべて素数です。

念のため、答え合わせをしておきましょう。

🐣「2,　3,　5,　7,　11,　13,　17,　19,　23,　29,　31,　37,　41,　43,　47,　53,　59,　61,　67,　71,　73,　79,　83,　89,　97」

以上、25個あれば正解です！

実際に手を動かしてやってみることが重要ですので、必ず自分でやってみてくださいね。

☆ある数が素数かそうでないか調べるには？

ではちょっと応用問題です。

🌸上の作業で、「どうして７の倍数を消すだけで作業をやめていいのか？11の倍数は消さなくていいのか？」と疑問に思いませんか？

実はちゃんと理由があります。この理由をきちんと理解しておくことが、ある数が素数かそうでないか調べる上でとても重要になってきます。ぜひ理解してください。

「素数かどうか」を調べるということは、「１とその数以外に約数はあるか」を調べることに他なりません。これはいいですね。

で、仮に１とその数以外に約数があるとするならば、その約数のうちの一つは、必ず「その数の平方根」よりも小さいはずなんです。

なぜなら、平方根を２回かければその数になるのですから、平方根よりも小さい約数が存在しなければ、掛け算したらその数自身を超えてしまいます。

今回は、100までの素数を探しました。

100の平方根（のうち、正のもの。ルート100）は10です。

ですから、100の平方根である10より小さい素数の倍数だけを消していけば足り、11の倍数のことは気にしなくていいというわけです。

…難しかったですか？でも重要な考え方なので、必ず理解しておいてください。

一般に、ある数が素数かどうかを調べるためには、その数の平方根未満の素数で割り切れるかどうかだけを調べればよいのです。

🌸2021の平方根はおよそいくつ？

こういう見当がつけられるセンスも重要ですよ。44の２乗が1936、45の２乗が2025ですから、45よりちょっと小さいくらいですね。（平方根はExcelのSQRT関数を使えば簡単に求まります。より正確な値はおよそ44.955です。）

ですから、44未満の素数、「2,　3,　5,　7,　11,　13,　17,　19,　23,　29,　31,　37,　41,　43」で割ってみて、どれでも割れなければ2021は素数だということになります。やってみると、43で割れるのです。

2021以外の数字が出題されても、この方法で素数かどうかを判断できるのです！✨

☆ちょっと雑談

今回ご紹介した方法は、「エラトステネスの篩（ふるい）」と言われる方法の簡易版です。

エラトステネスは古代ギリシア人の学者で、「エラトステネスの篩」の他、当時（紀元前240年ころ）としてはかなり正確に地球の大きさを求めたことでも知られています。詳しいことは高校の「地学」で習うと思います。お楽しみに！😊

素数判定の方法としては、エラトステネスの篩を改良した「サンダラムの篩」も知られています。興味のある方は（入試が終わったら）ググってみてください。

また、素数はRSA暗号と呼ばれる暗号の作成に用いられており、このIT時代にセキュリティを考察する上でかなり重要となっています。そのため、入試などでもよく取り上げられる題材です。

ものすごくざっくり解説すると、例えば２つの素数89と97を掛け算して8633を得ることは容易です。でも、8633を見て、それが89と97の積であると気づく（素因数分解する）のはめっちゃ難しいですよね。2021も、知っていないと43と47の積であるとはなかなか気づきにくかったでしょ？

このことを利用すると、作成するのは容易だけれども解くのは難しい暗号を作れるのです。数学って凄い！✨

☆まとめ　素数のように私は生きたい

🍎2021は素因数分解すると2021＝43×47になる。この結果は覚えておこう！

🍎各位の数の和が３で割れれば、その数も３で割れる！その他、主な倍数の見分け方は身につけておこう！

🍎１は素数ではない！間違えないように注意！！

🍎一般に、ある数が素数かどうかを調べるためには、その数の平方根未満の素数で割り切れるかどうかだけを調べればよい！

🍎２つの素数89と97を掛け算して8633を得ることは容易だが、8633が89と97の積であると気づく（素因数分解する）のはめっちゃ難しい。この性質を利用して素数は暗号の作成に用いられている。

突然ですが、私は素数が大好きです。１と自分自身でしか割れない、って生き方としてカッコいいですよね笑💦😝

１で割っても、実際には何もしてないのと一緒ですから、つまり自分自身でしか割れないということですよ。

私は他の人の言いなりにはならない、自分の信念に基づいて生きていく、みたいなものを素数から感じ取るのは私だけでしょうか。

同調圧力に屈することなく、素数のように、「わきまえずに」生きていきましょう！

空気を読むな、本を読め！またねー！💕

🌸🍃この記事の執筆者、Study Partnerは、コペル＆アヤでした🐣

#毎日note #毎日更新 #note #毎日投稿 #自己紹介 #アヤ先生 #フォロバ100

We love note and Studying!💕