$${a,b}$$を変数とする。 当たり前だが、下記の等式が成り立つ。 $${a×b = a×b}$$ 等分除は乗法の逆演算なので、下記の等式が成り立つ。 $${(a×b)÷b = a}$$ 𝑏 = 1×𝑏 なので、下記の等式が成り立つ。 $${(a×b)÷(1×b) = a}$$ ÷ の左右を 𝑏 倍した数式の値は元の数式の値と等しいので、下記の等式が成り立つ。 $${a÷1 = a}$$ 等分除は乗法の逆演算なので、下記の等式が成り立つ。 $${a×1
$${a,b}$$を変数とする。 ÷ の左右を 𝑏 倍した数式の値は元の数式の値と等しいので、下記の等式が成り立つ。 $${a÷a = (a×b)÷(a×b)}$$ $${b}$$に$${\dfrac{2}{a}}$$を代入する。 $${a÷a = \left(a×\dfrac{2}{a}\right)÷\left(a×\dfrac{2}{a}\right)}$$ $${a×\dfrac{2}{a} = 2}$$なので、下記の等式が成り立つ。 $${a÷a = 2
$${a,b,c}$$を変数とする。 積$${a×b}$$を$${c}$$倍すると、分けることができる$${a}$$ずつのまとまりの数も$${c}$$倍になるので、下記の等式が成り立つ。 $${(a×b)×c = a×(b×c)}$$ このことを、乗法の結合法則(associative law)という。 「分けることができるまとまりの数」というのはつまり割合のことであり、積は「分ける前の数」のことなので、 割合$${\dfrac{a}{b}}$$を$${c}$$倍す
$${a,b}$$を変数とする。 左分配法則より、下記の等式が成り立つ。 $${(a×b)−(a×b) = a×(b−b)}$$ 元の数と取り除く数が等しいときの差は0なので、下記の等式が成り立つ。 $${0 = a×0}$$ つまり、$${0}$$倍すればどんな数でも$${0}$$になってしまう。 $${0}$$倍されたらどんな数でも$${0}$$になるので、$${a÷0}$$の$${a}$$に代入できる値は$${0}$$しかない。 さらに、$${0÷0}$$
$${a, b, c}$$を変数とする。 積$${a×b}$$に$${a}$$ずつのまとまりをいくつか加えると、分けることができる$${a}$$ずつのまとまりの数がその分増えるので、下記の等式が成り立つ。 $${(a×b)+(a×c) = a×(b+c)}$$ このことを、左分配法則(left distributive law)という。 さらに、$${b}$$に$${b−c}$$を代入する。 $${(a×(b−c))+(a×c) = a×((b−c)+c)}$$
乗法の逆演算を除法(division)という。 除法は、積を「いくつずつのまとまりに分けたか」と「いくつのまとまりに分けたか」のどちらに戻すかで分類することができる。 「分ける前の数」と「いくつのまとまりに分けたか」で「いくつずつのまとまりに分けたか」を表すような演算を等分除(quotative division)という。 等分除によって変わった後の数を商(quotient)といい、$${÷}$$←この演算子を使って書き表す。 商を書き表すには、「分ける前の数」と「い
いくつか有るものを いくつかずつのまとまりに分けて数えることもできる。 つまり、「いくつずつのまとまりに分けたか」と「そのまとまりがいくつ有るか」で、分ける前の数を表すことができる。 この演算を乗法(multiplication)という。 乗法によって変わった後の数を積(product)といい、$${×}$$←この演算子を使って書き表す。 積を書き表すには、「いくつずつのまとまりに分けたか」と「そのまとまりがいくつ有るか」を表す数字が要る。 前者を$${×}$$の左に
$${a,b}$$を変数とする。 当たり前だが、下記の等式が成り立つ。 $${a+b = a+b}$$ 減法は加法の逆演算なので、下記の等式が成り立つ。 $${(a+b)−b = a}$$ 元の数と取り除く数が等しいときの差は0なので、下記の等式が成り立つ。 $${\{(a+b)−b\}−a = 0}$$ 差からいくつか取り除いているので、下記の等式が成り立つ。 $${\{(a+b)−b\}−a = (a+b)−\{b+a\}}$$ $${(a+b)−\{b
$${a,b,c}$$を変数とする。 和にいくつか加えるということは、加える数がその分増えるということであり、下記の等式が成り立つ。 $${(a+b)+c = a+(b+c)}$$ このことを、加法の結合法則(associative law)という。 和からいくつか取り除くということは、加える数がその分減るということであり、下記の等式が成り立つ。 $${(a+b)−c = a+(b−c)}$$ 差からいくつか取り除くということは、取り除く数がその分増えるということ
値が等しい数字や数式は、お互いに書き換えることができる。 数字や数式を別の表し方に書き換えることを代入(substitution)という。 数式に使われている数字に数式を代入するとき、演算子がややこしいことになるので、代入した数式は括弧(brackets)で括って見易くする。 どんな値の数字や数式でも代入できる記号を変数(variable)という。 記号とはいっても、$${x}$$や$${y}$$などの文字で表すのが通例である。 変数を使って演算を研究する学問を代数
差が$${0}$$のとき、つまり無くなるまで取り除いたとき、元の数と取り除いた数は等しい(equal)。 $${=}$$←この記号のことを等号(equals sign)といい、左右に数字や数式を書き記した等式(equation)で、それらの値が等しいことを表す。 等号の左に書かれた数字や数式を左辺(left-hand side)といい、右に書かれた方を右辺(right-hand side)という。 無くならないように取り除いたとき、元の数と取り除いた数は等しくない。
演算によって変わった後の数を元に戻すような演算を逆演算(inverse operation)という。 加法の逆演算は、和から 加えた分を取り除いて元の数に戻すような演算である。 この演算を減法(subtraction)という。 減法によって変わった後の数を差(difference)といい、$${−}$$←この演算子を使って書き表す。 差を書き表すには、「元々いくつあったか」と「いくつ取り除いたか」を表す数字が要る。 前者を$${−}$$の左に、後者を$${−}$$の右
無限大ではないところに他のものを加えると数が変わる。 “加える前の数” と “加えた数” から “加えた後の数” を求める演算を加法(addition)という。 加法の結果を和(sum)といい、$${+}$$←この演算子を使って書き表す。 和を書き表すには、“加える前の数” と “加えた数” を表す数字が要る。 前者を$${+}$$の左に、後者を$${+}$$の右に書く。 ちなみに、$${1+1}$$は$${2}$$である。
ある数から別の数を連想することを演算(operation)という。 数を表す字を数字(digit)といい、演算の方法を表す記号を演算子(operator)という。 演算の結果は、数字と演算子を書き記した数式(expression)で表す。 また、数字や数式が表す数を値(value)という。
何がどこに？とかはさておき、無いことをゼロ(zero)という。 ゼロではないとは、つまり有るということである。 何かがどこかに有るとすると、それしか無いか他にも有るかで分類することができる。 他にも有ると分類したとして、他であるものがそれしか無いか他にも有るかでさらに分類することができる。 この分類は他が有る限りずっと続けることができるが、 いつまでも他が有り続けることを無限大(infinity)といい、 無限大ではないときは有限(finite)という。 他が有
この世界には、触れる所と触れない所がある。 触れる所を物質(matter)といい、触れない所を空間(space)という。 物質と空間の境目を表面(surface)といい、 性質の異なる物質と物質の境目を界面(interface)という。 表面や界面のことを面(face)といい、面に囲まれた物質を物体(object)という。
