龍孫江(りゅうそんこう)可換環論botオペレーター

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龍孫江(りゅうそんこう)可換環論botオペレーター

数学YouTuberこころえ.Twitterから軸足を移しています.数学をきっかけにいらっしゃった方はMathtodon https://mathtod.online/web/@ron1827 も是非ご覧ください.

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  • 龍孫江の環論道具箱

    環論の初歩について,基本事項をまとめます.環論を学び始めた人,もう少し良く知りたい人におすすめです.月6回ほどの更新と,おまけテキストを載せる予定です.

  • 龍孫江の群論・環論道具箱

    龍孫江の群論道具箱・環論道具箱の記事を同時に読める合冊版です.それぞれ購読するよりはお得な価格設定となっております!龍孫江へのご支援を兼ねてご購読いただければ幸いです.

  • 龍孫江の群論道具箱

    群論の初歩について,基本事項をまとめます.群論について,学び始めた人,もう少し良く知りたい人におすすめです.月6回ほどの更新と,おまけテキストを載せる予定です.

  • 龍孫江の「畏れながら申し上げます」

    「口を開けば唇寒し、ただ皆様は温かし」 そんな気持ちで数学、または数学から学んだことについて語って参りたいと思います。お代はいりませんがお捻りは歓迎でございます。

  • 『龍孫江の数学日誌』in note

    『龍孫江の数学日誌』note版では、代数学の基本的な問題を1問ずつ取り上げ、ポイントとなる定理とともに解説します。大学で学ぶ代数学を薄く広く取り上げたいと思っています。  その都度ご精算いただく各回購入版(1回100円)と1か月単位の継続講読版(1か月1000円)がございまして、用途に合わせてお選びいただけます。いずれも動画発表に伴って公開されます。一か月16回以上の更新がございますので、迷われる場合は継続講読版をお勧めいたします。

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数学日誌別館テキスト版廃刊のお知らせ

日頃は『龍孫江の数学日誌』をご贔屓いただきまして有難うございます。 昨年5月の数学日誌別館(YouTube/note)開始以来、多くの方にご贔屓を賜り、おかげさまで YouTube チャンネルは1000人余の方にご登録いただくに至りました。 YouTubeチャンネルを運営する者としては、登録者1000人はひとつの、しかも重要な区切りです。おそらく多くのYouTuberがそう考えているのではないかと思います。というのも、YouTubeに投稿した動画に広告を載せて掲載料を頂け

    • イデアル〈龍孫江の環論道具箱〉

       準同型を用いて環を比較するとき,単射とどれくらい離れているかを示す尺度として準同型の核を導入しました.このように興味深い部分集合が与えられたとき,では「どのような部分集合ならば準同型の核となれるのか?」という問題が自然に励起されます.しばらくはこの疑問にこたえるべく考えていきたいと思います. https://youtu.be/OBqljeHCRr0  このような「○○なるものは何か?」という問いに対して,大きく2つのアプローチがあります. 必要条件(〇〇から導かれる条

      • 同じ演算で群になる〈龍孫江の群論道具箱〉

        前回,やっと部分群を導入しました.部分群を「乗法と逆元で閉じている空ではない部分集合」と定義し,これらの条件から部分群が(その名の通り)群をなすことを示しました.今回はその逆で,ある群の部分集合でもとの群の演算(の制限)によって群となる部分集合が部分群であること,具体的には次の事実を示します. https://youtu.be/97SDFZ_JCX4 命題(同じ演算で群になる集合) 群$${G}$$の部分集合$${H \ne \varnothing}$$が$${G}$$の

        • 準同型の計算〈龍孫江の環論道具箱〉

           環を比較するための道具として準同型写像を定義し,単射性を測る指標としてその核を導入しました.今回は過去に扱った環の例(その1,その2)を用いて準同型の計算例をご紹介します. https://youtu.be/2Y0VQbkiimg

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          部分群〈龍孫江の群論道具箱〉

          前回,演算が閉じていることを定義して,部分群を定義する道具が揃いました. https://youtu.be/dSdeKIqXg0A 定義(部分群)群$${G}$$の部分集合$${H \ne \varnothing}$$が,$${G}$$の乗法$${m \colon G \times G \to G}$$および逆元をとる操作$${i \colon G \to G}$$について閉じている,すなわち 各$${a, b \in H}$$に対し$${ab \in H}$$ 各$

          ゆるゆると数学を楽しみたい人のために

          ゆる~い数学好きのためのイベント ここ1か月ほど,時折思い出しては考えていることがあります.それは「ゆるゆると数学を楽しみたい人のために自分に何ができるだろうか」という問いかけです.  ちょうど1か月ほど前に,『笑わない数学』の書籍版(もうご覧いただきましたか? まだの方は是非お求めを)を一緒に作ったライターさん,編集者さんと会食する機会がありました.そのとき何度か「ゆる~い数学好きのためのイベントができたらいいですね,できればガチ勢には遠慮してもらって」という話題が出てき

          ゆるゆると数学を楽しみたい人のために

          準同型の核〈龍孫江の環論道具箱〉

          環を比較する道具として準同型写像を導入し,2つの環が「同じ=環論的に区別できない」ことの基準として同型写像の概念を定義しました.ある準同型写像が全単射のとき(またそのときに限り)同型になるわけですが,全射性と単射性を測る尺度があれば便利です. 定義(準同型の核)環準同型$${f \colon A \to B}$$に対して $${\ker f := f^{-1}(0) = \{ x \in A \mid f(x) = 0 \}}$$ を$${f}$$の核(kernel)と

          演算が「閉じている」とは〈龍孫江の群論道具箱〉

          数学の対象の多くが「器となる集合に,しかるべき性質(公理系)をみたす機構(仕掛け)をのせる」という形で作られています.このとき,部分集合であって機構がその中で完結するものを考えることが重要です. https://youtu.be/V4U2xYnFCYQ 定義(n項演算) 集合$${G}$$の要素$${n}$$個の順序列$${(a_1, \ldots, a_n)}$$に対して,ある$${G}$$の要素を割り当てる写像 $${ \mu \colon G \times \c

          演算が「閉じている」とは〈龍孫江の群論道具箱〉

          環の同型〈龍孫江の環論道具箱〉

          2つの環が「同じ」か否かを定める尺度となるのが,今回紹介する同型写像です. https://youtu.be/JRkkVzRmYLw 定義(環の同型写像)$${f \colon A \to B}$$を環の準同型とする.環の準同型$${g \colon B \to A}$$で$${g \circ f = \operatorname{id}_A}$$かつ$${f \circ g = \operatorname{id}_B}$$となるものが存在するとき,$${f}$$を同型とい

          一般結合則〈龍孫江の群論道具箱〉

          群の公理の1つに結合則があります.群$${G}$$の任意の要素$${a,b,c \in G}$$に対し$${(ab)c = a(bc)}$$が成り立つ,というものでした.これは「並べ替えることなく3個の要素を掛け合わせる場合に,どの順番で掛け合わせても結果は変わらない」とまとめられます.3個に限らず任意個の掛け合わせにおいても成り立つというのが,今回紹介する一般結合則です. https://youtu.be/bXQ-e8s1jzc 記号.群$${G}$$の要素$${x_1

          環の準同型写像〈龍孫江の環論道具箱〉

          前回は環の直積を定義し,直積集合$${ \mathbb{Z} \times \mathbb{Q} }$$には2通りの環構造(加法・乗法)が定まることを見ました.器となっている集合は同じですが,そこに定義されている演算は異なるものです.では,この「2通りの環」は "同じもの” なのか? というのが問題です. https://www.youtube.com/watch?v=Q8UNXEf_qBY これをきちんと解決するには「2通りの環が同じものであるとはどういうことか?」を定

          環の準同型写像〈龍孫江の環論道具箱〉

          可除律があれば…〈龍孫江の群論道具箱〉

          前回は,群における基本的な性質として簡約律と可除律について紹介しました.今回は,引き続き可除律の重要な性質を紹介します. 命題(可除律による群の特徴づけ)集合$${G \ne \varnothing}$$上の演算$${\cdot}$$が 結合則 任意の$${a, b, c \in G}$$に対し$${(ab)c = a(bc)}$$ 可除律 任意の$${a, b \in G}$$に対し,$${ax = b}$$なる$${x}$$および$${ya = b}$$なる$${y

          可除律があれば…〈龍孫江の群論道具箱〉

          環の直積〈龍孫江の環論道具箱〉

          2つの環から新たな環をつくる方法として直積という操作が知られています. https://youtu.be/LP_QWuvWJGc 定義(環の直積)環$${A, B}$$の直積集合$${A \times B}$$に 加法 $${(a_1, b_1) + (a_2, b_2) := (a_1+a_2, b_1+b_2)}$$ 乗法 $${(a_1, b_1) \cdot (a_2, b_2) := (a_1 \cdot a_2, b_1 \cdot b_2)}$$ で演

          簡約律と可除律〈龍孫江の群論道具箱〉

          今回は,簡約律と可除律という2つの基本的事実を紹介します.以下,群$${G}$$をひとつ固定して考えます. https://youtu.be/SR8tlswjDF0 命題1(簡約律)任意の$${a, b, c \in G}$$に対し $${ab = ac \Rightarrow b=c}$$,$${ba = ca \Rightarrow b=c}$$.

          簡約律と可除律〈龍孫江の群論道具箱〉

          環の単元群〈龍孫江の環論道具箱〉

          環の性質を調べる方法として,要素の特徴的な性質による分類が挙げられます.特に環では除法ができないことを勘案すると「乗法逆元をもつ=その要素で整除できる」という性質はとても重要です. https://youtu.be/ZZylLupVQ38 定義(可逆元) $${A \ne 0}$$を環とする.$${a \in A}$$が乗法逆元をもつ,すなわち$${b \in A}$$で$${ab = 1}$$なるものが存在するとき,$${a}$$は$${A}$$の可逆元(単元)という

          置換と対称群〈龍孫江の群論道具箱〉

          今回は個人的に,群論の初歩をリードする「典型的な例」を紹介します. https://youtu.be/SQ5htaT2aUE 定義(対称群) 集合$${X \ne \varnothing}$$から$${X}$$自身への全単射$${X \to X}$$の全体$${\mathfrak{S}(X)}$$を$${X}$$の対称群(Symmetric Group)という.