ユークリッド整域〈龍孫江の環論道具箱〉

　単項イデアル整域（PID）を導入し，体上の１変数多項式環$${K[X]}$$が単項イデアル整域であることを証明しました．また，言葉はまだ導入していませんでしたが整数環$${\mathbb{Z}}$$もPIDであることを証明していました．

　実は，この$${K[X]}$$や$${\mathbb{Z}}$$がPIDであることの証明は実に似通っています．このように「よく似た議論」があれば，必要な因子を抽出してまとめることが数学ではしばしばなされます．

https://youtu.be/T-MlV0BuX6o

定義（ユークリッド整域）

　ユークリッド整域とは，以下からなるものをいう．

1. 器　整域$${A}$$

2. 機構　写像$${d \colon A \to \mathbb{Z}}$$

3. 公理系 (1)正値性 $${d(x) \ge 0}$$，かつ$${d(x) = 0 \iff x = 0}$$
   (2) $${a, b \ne 0}$$に対し$${d(ab) \ge d(a)}$$
   (3)除法の原理 任意の$${a, b \ne 0}$$に対して，$${a = bq + r}$$，$${d(r) < d(b)}$$なる$${q, r \in A}$$が存在する．□