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龍孫江の環論道具箱

環論の初歩について,基本事項をまとめます.環論を学び始めた人,もう少し良く知りたい人におすすめです.月6回ほどの更新と,おまけテキストを載せる予定です.
環論の初歩について,基本事項をまとめます.教科書にはあまり書かれない細々とした計算や寄り道っぽい話…
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記事一覧

整数環の素イデアル〈龍孫江の環論道具箱〉

 可換環の素イデアルを定義しました.何か興味深いものを得たら,基本的な例で検めることは重…

素イデアル〈龍孫江の環論道具箱〉

 整域という環を定義しました.このように,なにか良い性質を備えた環があれば,剰余環がその…

自明な剰余環〈龍孫江の環論道具箱〉

 剰余環を定義して,環$${A}$$とそのイデアル$${I}$$が指定されれば,剰余類空間への自然な全…

ガウス整数環のユークリッド性〈龍孫江の環論道具箱〉

 ある整域が単項イデアル整域であることを判定する充分条件として,ユークリッド整域という概…

ガウス整数環〈龍孫江の環論道具箱〉

 ここまでに扱ってきた可換環の例には,整数環$${\mathbb{Z}}$$や多項式環$${A[X]}$$などがあ…

ユークリッド整域〈龍孫江の環論道具箱〉

 単項イデアル整域(PID)を導入し,体上の1変数多項式環$${K[X]}$$が単項イデアル整域であ…

相棒と新入り

 万年筆を新調しました.  今回のおまけテキスト,内容と言えるのはこれだけです.  大学入学のお祝いとして,叔父から贈ってもらったのがペリカンのM400青縞(細字)でした.移転前の丸善名古屋店で何本か試筆したのですが,当時はまだ万年筆にさほど造詣もなく,好きな青軸の細字を選びました.

単項イデアル整域(PID)〈龍孫江の環論道具箱〉

 整数環$${\mathbb{Z}}$$のイデアルはすべて単項イデアルとなることを紹介しました.この証明…

イデアルと整除関係〈龍孫江の環論道具箱〉

 単項イデアルを導入した折に「単項イデアルを主イデアルと訳すこともある」とお話ししました…

整域〈龍孫江の環論道具箱〉

 多項式の次数に関する公式において「0でない要素の積がまた0ではない」という条件が出てき…

除法の原理〈龍孫江の環論道具箱〉

 多項式を観察するときの重要な道具である次数を導入しました.次数は多項式の複雑さの尺度と…

多項式の次数〈龍孫江の環論道具箱〉

 多項式環を導入し,その要素である多項式の性質を観察したいと考えるとき,極めて重要なカ…

環上の代数〈龍孫江の環論道具箱〉

 多項式環を導入し,その重要な性質として「変数にある要素を代入する」写像が準同型となる「…

代入原理〈龍孫江の環論道具箱〉

 多項式環を導入し,任意の可換環$${A}$$に対し多項式環$${A[X]}$$が存在することを確かめました.続いて今回は,多項式環のとても重要な性質を紹介します. https://youtu.be/31j08jhbleU 定理(代入原理)$${\psi \colon A \to B}$$を準同型とする.各$${b \in B}$$に対し,準同型$${\phi_b \colon A[X] \to B}$$で 各$${a \in A}$$に対し$${\phi_b(a) =