忠実な作用〈龍孫江の群論道具箱〉

　有限群$${G}$$が集合$${X}$$に作用するとき，準同型$${G \to \mathfrak{S}(X)}$$が導かれること，および単射準同型$${G \to \mathfrak{S}_{\# G}}$$が存在することを見ました．今回の課題は，対称群に埋め込めるための条件は何か？です．

https://youtu.be/ojt8xtyof7A

定義（忠実な作用）

群$${G}$$の集合$${X}$$への作用$${\lambda \colon G \times X \to X}$$に対し，$${g \in G}$$の作用を$${\lambda_g \colon X \to X~(x \mapsto gx)}$$で表す．このとき，作用$${\lambda}$$が忠実であるとは

各$${g \ne h}$$に対し$${\lambda_g \ne \lambda_h}$$，

すなわち各$${g \ne h}$$に対し$${gx \ne hx}$$なる$${x \in X}$$が存在することをいう．□