＜高校生必見！シグマの全て（4️⃣）＞- シグマ公式の導出 -

前回解説した「数列に対する重要な考え方」を用いて、
基本的なシグマの公式を導出する。

前回の復習

数列の総和に関する問題は、( $${k+1}$$ の式 ) $${-}$$ ( $${k}$$ の式 )  という形を作り出すことで解きやすくなるのだった。

たとえば

$$
\begin{array}{}\displaystyle\sum_{k=1}^n{2^k}&=\displaystyle\sum_{k=1}^n{(\,2^{k+1}-2^k\,)}\end{array}
$$

と表せ、書き下すと

$$
\begin{array}{}\displaystyle\sum_{k=1}^n{2^k}&=&\displaystyle\sum_{k=1}^n{(\,2^{k+1}-2^k\,)}\\\\&=&(2^2-2^1)+(2^3-2^2)+\cdots+(2^n-2^{n-1})+(2^{n+1}-2^n)\end{array}
$$

同じ大きさで異符号の値が出てくるため、ほとんどの項は消えてなくなり
残るのは

$$
\begin{array}{}-2^1+2^{n+1}\end{array}
$$

だけだから

$$
\begin{array}{}\displaystyle\sum_{k=1}^n{2^k}&=&2^{n+1}-2\end{array}
$$

というふうに求めることができる。

自然数の数列の総和　再考

突然だが、次のような ( $${k+1}$$ の式 ) $${-}$$ ( $${k}$$ の式 ) を考える。

$$
\begin{array}{}(\,k+1\,)^2-k^2\end{array}
$$

理由は置いておいて
とにかく計算してみると、下のような恒等式が現れる。

$$
\begin{array}{}(\,k+1\,)^2-k^2&=&2k+1\end{array}
$$

ここからは、今覚えているシグマの公式を全て忘れて解説を読んでほしい。
第二回でシグマの公式の一つを導いたので、おかしなことを言うようだが
いったん別の話だと考えてもらいたい。

両辺の $${k=1}$$ から $${k=n}$$ までの総和をとると

$$
\begin{array}{}\displaystyle\sum_{k=1}^n\{\,(\,k+1\,)^2-k^2\,\}&=&\displaystyle\sum_{k=1}^n(\,2k+1\,)\end{array}
$$

となる。

左辺と右辺それぞれについて順に考えていこう。

まず左辺について

書き下すと

$$
\begin{array}{}\displaystyle\sum_{k=1}^n\{\,(\,k+1\,)^2-k^2\,\}&=&(2^2-1^2)+(3^2-2^2)+\cdots+\{n^2-(n-1)^2\}+\{(n+1)^2-n^2\}\end{array}
$$

同じ大きさで異符号の値が出てくるため、ほとんど全ての項は消えてなくなり、残るのは

$$
\begin{array}{}-1^2+(n+1)^2\end{array}
$$

だけだから

$$
\begin{array}{}\displaystyle\sum_{k=1}^n\{\,(\,k+1\,)^2-k^2\,\}&=&(n+1)^2-1\\\\&=&n^2+2n\end{array}
$$

となる。

次に右辺について
シグマの意味を考えることで次のように変形できる。

$$
\begin{array}{}
\displaystyle\sum_{k=1}^n(\,2k+1\,)&=&(2\cdot1+1)+(2\cdot2+1)+\cdots+\{\,(\,2\cdot(n-1)+1)\}+(\,2\cdot{n}+1)\\\\&=&2\cdot(1+2+\cdots+n)+(1+1+\cdots+1)\\\\&=&2\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k}\,\,+\,\,n
\end{array}
$$

つまり、シグマは分配できるのだ。

以上より

$$
\begin{array}{}
n^2+2n \,\,\,=\,\,\, 2\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k}\,\,+\,\,n
\end{array}
$$

が成り立つ。

この式を  $${\displaystyle\sum_{k=1}^n{k}}$$ について整理すると

$$
\begin{array}{}
2\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k}\,\,\,&=&\,\,\,n^2+n\\\\&=&n\,(n+1)
\end{array}
$$

よって

$$
\begin{array}{}
\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k}\,\,\,&=&\frac{1}{2}\,\,n\,(n+1)
\end{array}
$$

お馴染みの式を導くことができた。

この方法で「２乗の和」や「３乗の和」のシグマ公式も導くことができる。

実際にやってみよう。

「２乗のシグマ公式」

次のような ( $${k+1}$$ の式 ) $${-}$$ ( $${k}$$ の式 ) を考える。

$$
\begin{array}{}(\,k+1\,)^3-k^3\end{array}
$$

展開すると、下のような恒等式が現れる。

$$
\begin{array}{}(\,k+1\,)^3-k^3&=&3k^2+3k+1\end{array}
$$

両辺の $${k=1}$$ から $${k=n}$$ までの総和をとると

$$
\begin{array}{}\displaystyle\sum_{k=1}^n\{\,(\,k+1\,)^3-k^3\,\}&=&\displaystyle\sum_{k=1}^n(\,3k^2+3k+1\,)\end{array}
$$

となる。

左辺と右辺それぞれについて順に考えていこう。

まず左辺について

書き下すと

$$
\begin{array}{}\displaystyle\sum_{k=1}^n\{\,(\,k+1\,)^3-k^3\,\}&=&(2^3-1^3)+(3^3-2^3)+\cdots+\{n^3-(n-1)^3\}+\{(n+1)^3-n^3\}\end{array}
$$

同じ大きさで異符号の値が出てくるため、ほとんど全ての項は消えてなくなり、残るのは

$$
\begin{array}{}-1^3+(n+1)^3\end{array}
$$

だけだから

$$
\begin{array}{}\displaystyle\sum_{k=1}^n\{\,(\,k+1\,)^3-k^3\,\}&=&(n+1)^3-1\\\\&=&n^3+3n^2+3n\end{array}
$$

となる。

次に右辺について

シグマを分配して、

$$
\begin{array}{}
\displaystyle\sum_{k=1}^n(\,3k^2+3k+1\,)&=&3\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k^2}\,\,+3\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k}\,\,+\,\,n
\end{array}
$$

この式に

$$
\begin{array}{}
\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k}\,\,\,&=&\frac{1}{2}\,\,n\,(n+1)
\end{array}
$$

を代入すると

$$
\begin{array}{}
\displaystyle\sum_{k=1}^n(\,3k^2+3k+1\,)&=&3\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k^2}\,\,+3\cdot\frac{1}{2}\,\,n\,(n+1)\,\,+\,\,n
\end{array}
$$

となる。

以上より

$$
\begin{array}{}
 n^3+3n^2+3n\,\,\,=\,\,\,3\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k^2}\,\,+3\cdot\frac{1}{2}\,\,n\,(n+1)\,\,+\,\,n
\end{array}
$$

が成り立つ。

この式を  $${\displaystyle\sum_{k=1}^n{k^2}}$$ について整理すると

$$
\begin{array}{}
3\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k^2}\,\,\,&=&\,\,\,n^3+\frac{3}{2}\,n^2+\frac{1}{2}\,n\\\\&=&\frac{1}{2}\,n(\,2n^2+3n+1\,)\\\\&=&\frac{1}{2}\,n(n+1)(2n+1)
\end{array}
$$

よって

$$
\begin{array}{}
\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k^2}\,\,\,&=&\frac{1}{6}\,n(n+1)(2n+1)
\end{array}
$$

を導くことができた。

これが「２乗のシグマ和」の公式である。

「３乗のシグマ公式」

次のような ( $${k+1}$$ の式 ) $${-}$$ ( $${k}$$ の式 ) を考える。

$$
\begin{array}{}(\,k+1\,)^4-k^4\end{array}
$$

展開すると、下のような恒等式が現れる。

$$
\begin{array}{}(\,k+1\,)^4-k^4&=&4k^3+6k^2+4k+1\end{array}
$$

両辺の $${k=1}$$ から $${k=n}$$ までの総和をとると

$$
\begin{array}{}\displaystyle\sum_{k=1}^n\{\,(\,k+1\,)^4-k^4\,\}&=&\displaystyle\sum_{k=1}^n(\,4k^3+6k^2+4k+1\,)\end{array}
$$

となる。

左辺と右辺それぞれについて順に考えていこう。

まず左辺について

書き下すと

$$
\begin{array}{}\displaystyle\sum_{k=1}^n\{\,(\,k+1\,)^4-k^4\,\}&=&(2^4-1^4)+(3^4-2^4)+\cdots+\{n^4-(n-1)^4\}+\{(n+1)^4-n^4\}\end{array}
$$

同じ大きさで異符号の値が出てくるため、ほとんど全ての項は消えてなくなり、残るのは

$$
\begin{array}{}-1^4+(n+1)^4\end{array}
$$

だけだから

$$
\begin{array}{}\displaystyle\sum_{k=1}^n\{\,(\,k+1\,)^4-k^4\,\}&=&(n+1)^4-1\\\\&=&n^4+4n^3+6n^2+4n\end{array}
$$

となる。

次に右辺について

シグマを分配して、

$$
\begin{array}{}
\displaystyle\sum_{k=1}^n(\,4k^3+6k^2+4k+1\,)&=&4\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k^3}\,\,+\,\,6\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k^2}\,\,+\,\,4\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k}\,\,+n
\end{array}
$$

この式に

$$
\begin{array}{}
\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k}\,\,\,&=&\frac{1}{2}\,\,n\,(n+1)
\end{array}
$$

さらに

$$
\begin{array}{}
\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k^2}\,\,\,&=&\frac{1}{6}\,n(n+1)(2n+1)
\end{array}
$$

を代入すると

$$
\begin{array}{}
\displaystyle\sum_{k=1}^n(\,4k^3+6k^2+4k+1\,)&=&4\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k^3}\,\,+\,\,6\cdot\frac{1}{6}\,n(n+1)(2n+1)\,\,+\,\,4\cdot\frac{1}{2}\,\,n\,(n+1)\,\,+\,\,n
\end{array}
$$

となる。

以上より

$$
\begin{array}{}
 n^4+4n^3+6n^2+4n\,\,\,=\,\,\,4\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k^3}\,\,+\,\,6\cdot\frac{1}{6}\,n(n+1)(2n+1)\,\,+\,\,4\cdot\frac{1}{2}\,\,n\,(n+1)\,\,+n
\end{array}
$$

が成り立つ。

この式を  $${\displaystyle\sum_{k=1}^n{k^3}}$$ について整理すると

$$
\begin{array}{}
4\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k^3}\,\,\,&=&\,\,\,n^4+2n^3+n^2\\\\&=&n^2\,(\,n^2+2n+1\,)\\\\&=&n^2\,(\,n+1\,)^2
\end{array}
$$

よって

$$
\begin{array}{}
\,\displaystyle\sum_{k=1}^n{k^3}\,\,\,&=&\frac{1}{4}\,\,n^2\,(\,n+1\,)^2
\end{array}
$$

を導くことができた。

これが「３乗のシグマ和」の公式である。

ところで、この導出法の規則に気づいたであろうか。

アイデアの核は、$${(\,k+1\,)^{m+1}-k^{m+1}}$$ を展開すると $${k}$$ についての恒等式が現れることである。

その両辺の総和を取ることで $${\displaystyle\sum_{k=1}^n{k^m}}$$ を$${n}$$ の式で表すことができるのだ。

その際、「１乗のシグマ公式」から「 $${m-1}$$ 乗のシグマ公式」までを使うことになるが、それらはすでに分かっているのでうまくいくという仕組みだ。

練習として「４乗のシグマ公式」以降を導くのも面白いと思う。

実は、この方法以外にもこれらの公式をうまく証明できるツールがあるのだがそれは最終回で解説することにする。そこで「４乗のシグマ公式」を実際に求めてみるつもりだ。

まとめ

今回はシグマの基本的な公式を求めてみた。

問題を解くときにこれらの公式は重宝する。

導出する過程にも重要な考え方が含まれているので
単なる暗記にとどまらずセットで理解しておくと一石二鳥である。

次回は「連続整数の積の和」について解説する。

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