【数とは？】３にまつわる不思議な法則

１８とか３３という数字が３で割れることは実際に手計算しなくても分かります。でも、もっと大きな数字、例えば２０１９とか１３６４４のようになってくると、３で割れるかをすぐに見分けるのは難しくなってきます。

たぶん、こんな状況は人生に一度たりとも訪れないとは思いますが、もし計算機が使えなくて、めちゃくちゃ大きい数字が３で割れるかどうかを知りたい時、とても便利で簡単な方法があります。今回のＮＯＴＥではそれだけでも覚えていってください。ちなみに、やさしい足し算しか使わないのでご安心を。

さて、その方法というのは、各ケタの数字を足し合わせた合計が３の倍数なら、元の数字は３で割れるというものです。「えっ、どういうこと？」と思われるかもしれないので、分かりやすく実例を挙げてやってみましょう。

例えば、１９６４８２７５という数字は３で割れるでしょうか？

方法通り、各ケタの数字を足し合わせてみましょう。
　１＋９＋６＋４＋８＋２＋７＋５
＝１０　＋１０　＋１０　＋１２
＝４２

４２は３の倍数なので、これで元の数字１９６４８２７５は３で割ることができる、ということが分かります。

冒頭で書いていた数字２０１９と１３６４４も、この方法を使うとそれぞれ１２、１８となり、３で割れることがすぐに分かるかと思います。

「まぁ確かにそうかもしれないけれど、どうしてそうなるって分かるの？」と、私は法則を知っていても理屈までは知らなかったので、とても不思議に思っていました。なので、この機に、足し算と引き算を使ってこれを証明したいと思います。よろしければ、もう少しだけお付き合いください。

１９６４８２７５のような、とても大きな適当な数字を位ごとに分解すると次のようになります。
　１９６４８２７５＝　５＋７０＋２００＋８０００＋４００００＋・・・

今度は、どんな数字でも対応できるように適当なアルファべットに置きまえます。
　　①　Ｘ＝ａ＋１０ｂ＋１００ｃ＋１０００ｄ＋１００００ｅ＋・・・

ここで使っているＸ、ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅは適当な数字です。
例に使っている数字　Ｘ＝１９６４８２７５　だと、
ａ＝５、ｂ＝７、ｃ＝２、ｄ＝８、ｅ＝４、・・・という具合になります。

そして、各ケタの合計の数Ｙは次のように書くことができます。
　　②　Ｙ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ+ｅ＋・・・

①式から②式を差し引けば、次のような式になります。
　　③　ＸーＹ＝（ａ－ａ）＋（１０ｂ－ｂ）＋（１００ｃ－ｃ）＋・・・
　　　　　　　＝９ｂ＋９９ｃ＋９９９ｄ＋９９９９ｅ＋・・・
　　　　　　　＝９（ｂ＋１１ｃ＋１１１ｄ＋１１１１ｅ＋・・・）
　　　　　　　＝（９の倍数）

こうすると、③式の右辺は９の倍数であることが分かります。というのも、１０、１００、１０００、１００００・・・から１ずつ引けば、すべて９か９ゾロの数字にしかならないからです。さらに、Ｙを右辺に移せば、
　　④　Ｘ＝Ｙ＋（９の倍数）

ここで、このＮＯＴＥの最初に書いた前提条件、各ケタの合計の数Ｙが３の倍数だった場合は、次のように書き替えられます。
　　⑤　Ｘ＝（３の倍数）＋（９の倍数）
　　　　　＝（　　　３の倍数　　　　）

もう、ここまで来たらお分かりですね？３の倍数と９の倍数を足し合わせると必ず３の倍数になるため、元の数字Ｘは３で割ることができる、と証明できました。

それと同時に、各ケタの合計の数Ｙが３の倍数にならなければ、Ｘは３の倍数にならないこともついでに証明できました。

この法則に世界で最初に気づいた人は「これ、マジかいな！？」と叫んだに違いありません。どんな分野でも、自分が世界で初めてできたことや発見したことというのは新鮮な驚きや神秘的な感動を覚えるものだからです。

この３の法則を通じて、算数・数学の世界だけに限らず、いろんな分野でこのような驚きや感動、興奮にいつも触れたいなぁと思う今日この頃でした ٩(　'ω'　)و