＜アーベルの証明➁＞５次置換をすべて互換の積で表し、遇置換と奇置換に分類する

　家庭教師の竹村が部屋に入ると、森田君は熱心に計算をしている。
「さて森田君、どこまでできたかな」
「$${n}$$ 次置換は必ず互換の積で表せることから、５次置換をすべて互換の積で表し、遇置換と奇置換に分類してみました。そして前回、巡回置換のところで先生に教えてもらった
　『遇置換は必ず３次巡回置換、または３次巡回置換の積で表すことができる』
ことを、すべての遇置換について確認してみました」
「えっ、すべて表してみたの？」
「はい。差積の添加によって対称性を保つ置換を５次置換から遇置換にまで絞り込むことに成功しましたが（本シリーズ (14)）、その遇置換は、すべて３次巡回置換、または３次巡回置換の積で表すことができます」
　～すべての遇置換は３次巡回置換、またはその積で表すことができる～

（例）

$$
\begin{align*}
\dbinom{x_1     x_2     x_3     x_4     x_5}{x_2     x_1     x_4     x_3     x_5}
&=\underset{遇置換}{\underline{(x_1     x_2)(x_3     x_4)}}\\
&=\underset{３次巡回置換の積}{\underline{(x_1     x_2     x_4)(x_1     x_3     x_4)}}   \text{（注１）}
\end{align*}
$$

　これはアーベルの証明を知る上で重要なテーマの１つ。「どこまで自力で考えたのだろうか？」と竹村は興味を抱いたが、ひとます森田君の研究成果をみようと竹村は机に座り、森田君はホワイトボードの前に立った。
　ゼミのような竹村の家庭教師が始まった。

1. ５次置換についての復習

「先生、始めてよろしいでしょうか。ひとつひとつ確認しながら進めていきます。まずは５次置換をすべて互換の積で表し、遇置換と奇置換に分類していきます」
　まだ小学５年生の森田君。自分の理解を確認するように、何度も整理しながら進めていくのが森田君のスタイル。初心者向けの授業のようにかゆいところを押さえていくので、竹村はほとんど話すことはない。
「５次方程式
　$${x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5=0}$$
の５つの解を
　$${x_1,  x_2,  x_3,  x_4,  x_5}$$
とします。あらかじめ $${x^5}$$ の係数を $${1}$$ にして、式を簡略化しています（$${\Rightarrow}$$ 詳しくは本シリーズ (14)）。
　ここで５つの文字の置き換えである５次置換を考えます。例えば、先ほどの５次方程式の解
　$${x_1,  x_2,  x_3,  x_4,  x_5}$$
を $${x_2,  x_1,  x_4,  x_5,  x_3}$$ に置き換える置換、つまり
　$${x_1 \longrightarrow x_2}$$
　$${x_2 \longrightarrow x_1}$$
　$${x_3 \longrightarrow x_4}$$
　$${x_4 \longrightarrow x_5}$$
　$${x_5 \longrightarrow x_1}$$
と文字を置き換える置換を
　$${\dbinom{x_1     x_2     x_3     x_4     x_5}{x_2     x_1     x_4     x_5     x_3}}$$
と表記することはすでにやりました。上から下へと文字が置換されると考えます（$${\Rightarrow}$$ 詳しくは本シリーズ (14)）。
　なおこの置換は  $${x_1}$$ と $${x_2}$$ の入れ替えである互換
　$${x_1 \leftrightarrow x_2}$$
と、$${x_3,  x_4,  x_5}$$ が輪環するように入れ替わる巡回置換
　$${x_3 \rightarrow  x_4 \rightarrow x_5 \rightarrow x_3 \rightarrow \cdots}$$
の２つの置換で構成されています。
　$${\dbinom{\underline{x_1     x_2}     \underline{\underline{x_3     x_4     x_5}}}{\underset{互換}{\underline{x_2     x_1}}     \underset{巡回置換}{\underline{\underline{x_4     x_5     x_3}}}}}$$
$${x_1}$$ と $${x_2}$$ の入れ替えは互換表示
　$${(x_1     x_2)}$$
$${x_3,  x_4,  x_5}$$ の巡回置換は
　$${(x_3     x_4     x_5)}$$
と表記できるので、先の５次置換は

$$
\begin{align*}
\dbinom{x_1     x_2     x_3     x_4     x_5}{x_2     x_1     x_4     x_5     x_3}=(x_1     x_2)(x_3     x_4     x_5)
\end{align*}
$$

と表すことができます。なお本シリーズでは互換は左（前）から作用させると定義したので
　$${(x_1     x_2)(x_3     x_4     x_5)}$$
は先に $${(x_1     x_2)}$$ を作用させてから、次に $${(x_3     x_4     x_5)}$$ を作用させます（注２）。
　なお、$${(x_1     x_2)}$$ と $${(x_3     x_4     x_5)}$$ には共通の文字が含まれておらず互いに独立しているので、どちらを先に作用させても同じ置換となります。
　確認のため、５つの文字列 $${x_1,  x_2,  x_3,  x_4,  x_5}$$ に作用させてみますと、$${(x_1     x_2)(x_3     x_4     x_5)}$$ は

$$
\begin{align*}
x_1       x_2       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_2)  を作用\\
x_2       x_1       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_3     x_4     x_5)  を作用\\
x_2       x_1       &x_4       x_5       x_3     \cdots  (*1)
\end{align*}
$$

一方、$${(x_3     x_4     x_5)(x_1     x_2)}$$ は

$$
\begin{align*}
x_1       x_2       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_3     x_4     x_5)  を作用\\
x_1       x_2       &x_4       x_5       x_3\\
&\Downarrow   (x_1     x_2)  を作用\\
x_2       x_1       &x_4       x_5       x_3     \cdots  (*2)
\end{align*}
$$

より、$${(*1)}$$ と $${(*2)}$$ は同じ結果となり

$$
\begin{align*}
\dbinom{x_1     x_2     x_3     x_4     x_5}{x_2     x_1     x_4     x_5     x_3}&=(x_1     x_2)(x_3     x_4     x_5)\\
&=(x_3     x_4     x_5)(x_1     x_2)
\end{align*}
$$

となります。なお一般には、置換の順番が変わると結果は異なります。このことを含め、置換についての注意をいくつかあげておきます。なお、互換は２文字の巡回置換とみることもできます。

2. 置換についての注意

注意１　置換の順番を変えると、一般には同じ結果とならない。

　例えば
　$${(x_1     x_2)(x_2     x_4     x_5)}$$
と順番を入れ替えた
　$${(x_2     x_4     x_5)(x_1     x_2)}$$
を、５つの文字列 $${x_1,  x_2,  x_3,  x_4,  x_5}$$ に作用させて調べてみましょう。$${x_2}$$ が共通の文字になっています。
　まず $${(x_1     x_2)(x_2     x_4     x_5)}$$ は

$$
\begin{align*}
x_1       x_2       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_2)  を作用\\
x_2       x_1       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_2     x_4     x_5)  を作用\\
x_4       x_1       &x_3       x_5       x_2     \cdots  (*3)
\end{align*}
$$

　一方、$${(x_2     x_4     x_5)(x_1     x_2)}$$ は

$$
\begin{align*}
x_1       x_2       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_2     x_4     x_5)  を作用\\
x_1       x_4       &x_3       x_5       x_2\\
&\Downarrow   (x_1     x_2)  を作用\\
x_2       x_4       &x_3       x_5       x_1     \cdots  (*4)
\end{align*}
$$

となり、$${(*3)}$$ と $${(*4)}$$ は異なる結果となります。
　$${(x_1     x_2)(x_2     x_4     x_5)\ne(x_2     x_4     x_5)(x_1     x_2)}$$
　なお巡回置換は互いに独立であれば、つまり同じ文字が含まれていなければ、順番を変えて作用させても同じ結果となります。先ほどの $${(*1)}$$ と $${(*2)}$$ がその例です。
　$${(x_1     x_2)(x_3     x_4     x_5)=(x_3     x_4     x_5)(x_1     x_2)}$$

注意２　互換は順番を入れ替えでも同じ互換となる。

　互換 $${(x_1     x_2)}$$ は $${x_1}$$ と $${x_2}$$ の入れ替えですが、文字の順番を入れ替えた $${(x_2     x_1)}$$ も $${x_1}$$ と $${x_2}$$ の入れ替えなので、どちらも同じ互換となります。
　$${(x_1     x_2)=(x_2     x_1)}$$
ただし本シリーズでは混乱を避けるため、添え字の数の小さい順に $${(x_1     x_2)}$$ と表記していきます。
　このことは３次巡回置換についてもいえて
　$${(x_1     x_2     x_3)}$$ と $${(x_2     x_3     x_1)}$$ と $${(x_3     x_1     x_2)}$$
はどれも
　$${x_1 \rightarrow x_2 \rightarrow x_3 \rightarrow x_1 \rightarrow \cdots}$$
と巡回する置換なので、同じものとなります。
　$${(x_1     x_2     x_3)=(x_2     x_3     x_1)=(x_3     x_1     x_2)}$$
　なおこの場合も混乱を避けるため、添え字の数の小さい順に $${(x_1     x_2     x_3)}$$ と表記していきます。

注意３　すべての巡回置換は互換、または互換の積で表すことができる。

　２次巡回置換、３次巡回置換、$${\cdots}$$、と順にみていきます。

注意３-１　２次巡回置換は互換そのものである。

（例）　$${(x_1     x_2)}$$
　互換は２変数の巡回置換とみることができます。

注意３-２　３次巡回置換を互換の積で表す方法。

　３次巡回置換は、次のように互換の積で表せます。
（例）

$$
\begin{align*}
(x_1     x_2     x_3)=(x_1     x_2)(x_1     x_3)
\end{align*}
$$

先頭にある $${x_1}$$ を共通の文字にして、左から $${x_2}$$ との互換 $${(x_1     x_2)}$$、$${x_3}$$ との互換 $${(x_1     x_3)}$$ と順に並べていきます。 実際等しくなることを確認します。この互換の積 $${(x_1     x_2)(x_1     x_3)}$$ を５つの文字列 $${x_1,  x_2,  x_3,  x_4,  x_5}$$ に作用させると

$$
\begin{align*}
x_1       x_2       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_2)  を作用\\
x_2       x_1       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_3)  を作用\\
x_2       x_3       &x_1       x_4       x_5\\
\end{align*}
$$

つまり
　$${x_1 \longrightarrow x_2}$$
　$${x_2 \longrightarrow x_3}$$
　$${x_3 \longrightarrow x_1}$$（$${x_1}$$ に戻る）
　$${x_4 \longrightarrow x_4}$$（変化しない）
　$${x_5 \longrightarrow x_5}$$（変化しない）
より
　$${x_1 \rightarrow x_2 \rightarrow x_3 \rightarrow x_1 \rightarrow \cdots}$$
と巡回しているので、確かに

$$
\begin{align*}
(x_1     x_2     x_3)=(x_1     x_2)(x_1     x_3)
\end{align*}
$$

となります。なお $${x_4}$$ と $${x_5}$$ は変化していません。また、互換を順に作用させるにつれて、 $${x_1}$$（下線部）が１つずつ右に移動していくのが見て取れます。

$$
\begin{align*}
\underline{x_1}       x_2       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_2)  を作用\\
x_2       \underline{x_1}       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_3)  を作用\\
x_2       x_3       &\underline{x_1}       x_4       x_5\\
&\uparrow\\
x_1 が&右に移動
\end{align*}
$$

注意３-３　４次巡回置換を互換の積で表す方法。

　４次巡回置換は、次のように互換の積で表せます。
（例）

$$
\begin{align*}
(x_1     x_2     x_3     x_4)=(x_1     x_2)(x_1     x_3)(x_1     x_4)
\end{align*}
$$

これも先頭にある $${x_1}$$ を共通の文字にして、左から $${x_2}$$ との互換 $${(x_1     x_2)}$$、$${x_3}$$ との互換 $${(x_1     x_3)}$$、$${x_4}$$ との互換 $${(x_1     x_4)}$$ と順に並べていきます。 実際等しくなることを確認します。この互換の積 $${(x_1     x_2)(x_1     x_3)(x_1     x_4)}$$ を５つの文字列 $${x_1,  x_2,  x_3,  x_4,  x_5}$$ に作用させると

$$
\begin{align*}
x_1       x_2       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_2)  を作用\\
x_2       x_1       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_3)  を作用\\
x_2       x_3       &x_1       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_4)  を作用\\
x_2       x_3       &x_4       x_1       x_5
\end{align*}
$$

つまり
　$${x_1 \longrightarrow x_2}$$
　$${x_2 \longrightarrow x_3}$$
　$${x_3 \longrightarrow x_4}$$
　$${x_4 \longrightarrow x_1}$$（$${x_1}$$ に戻る）
　$${x_5 \longrightarrow x_5}$$（変化しない）
より
　$${x_1 \rightarrow x_2 \rightarrow x_3 \rightarrow x_4 \rightarrow x_1 \rightarrow \cdots}$$
と巡回しているので、確かに

$$
\begin{align*}
(x_1     x_2     x_3     x_4)=(x_1     x_2)(x_1     x_3)(x_1     x_4)
\end{align*}
$$

となります。なお $${x_5}$$ は変化していません。また、ここでも互換を順に作用させるにつれて、 $${x_1}$$（下線部）が１つずつ右に移動していくのが見て取れます。

$$
\begin{align*}
\underline{x_1}       x_2       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_2)  を作用\\
x_2       \underline{x_1}       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_3)  を作用\\
x_2       x_3       &\underline{x_1}      x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_4)  を作用\\
x_2       x_3       &x_4       \underline{x_1}       x_5\\
&\hspace{19.5pt}\uparrow\\
&\hspace{0.5pt}x_1 が右に移動
\end{align*}
$$

注意３-４　５次巡回置換を互換の積で表す方法。

　５次巡回置換は、次のように互換の積で表せます。
（例）

$$
\begin{align*}
(x_1     x_2     x_3     x_4     x_5)=(x_1     x_2)(x_1     x_3)(x_1     x_4)(x_1     x_5)
\end{align*}
$$

これも $${x_1}$$ を共通の文字にして、左から $${x_2}$$ との互換 $${(x_1     x_2)}$$、$${x_3}$$ との互換 $${(x_1     x_3)}$$、$${x_4}$$ との互換 $${(x_1     x_4)}$$、$${x_5}$$ との互換 $${(x_1     x_5)}$$ と順に並べていきます。 実際等しくなることを確認します。 この互換の積 $${(x_1     x_2)(x_1     x_3)(x_1     x_4)(x_1     x_5)}$$ を５つの文字列 $${x_1,  x_2,  x_3,  x_4,  x_5}$$ に作用させると

$$
\begin{align*}
x_1       x_2       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_2)  を作用\\
x_2       x_1       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_3)  を作用\\
x_2       x_3       &x_1       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_4)  を作用\\
x_2       x_3       &x_4       x_1       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_5)  を作用\\
x_2       x_3       &x_4       x_5       x_1
\end{align*}
$$

つまり
　$${x_1 \longrightarrow x_2}$$
　$${x_2 \longrightarrow x_3}$$
　$${x_3 \longrightarrow x_4}$$
　$${x_4 \longrightarrow x_5}$$
　$${x_5 \longrightarrow x_1}$$（$${x_1}$$ に戻る）
より
　$${x_1 \rightarrow x_2 \rightarrow x_3 \rightarrow x_4 \rightarrow x_5 \rightarrow x_1 \rightarrow \cdots}$$
と巡回しているので、確かに

$$
\begin{align*}
(x_1     x_2     x_3     x_4     x_5)=(x_1     x_2)(x_1     x_3)(x_1     x_4)(x_1     x_5)
\end{align*}
$$

となります。ここでも互換を順に作用させるにつれて、 $${x_1}$$ が１つずつ右に移動していくのが見て取れます。

$$
\begin{align*}
\underline{x_1}       x_2       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_2)  を作用\\
x_2       \underline{x_1}       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_3)  を作用\\
x_2       x_3       &\underline{x_1}       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_4)  を作用\\
x_2       x_3       &x_4       \underline{x_1}       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_5)  を作用\\
x_2       x_3       &x_4       x_5       \underline{x_1}\\
&\hspace{39pt}\uparrow\\
&\hspace{20pt}x_1 が右に移動
\end{align*}
$$

　なお一般に $${n}$$ 次巡回置換について

$$
\begin{align*}
&(x_1     x_2     x_3     \cdots     x_{n-1}     x_n)\\
=\,&(x_1     x_2)(x_1     x_3)  \cdots  (x_1     x_{n-1}) (x_1     x_n)
\end{align*}
$$

と公式として定式化できます。ただし $${n}$$ は $${n \geqq 2}$$ の自然数です。実際等しくなることを確認します。これを $${n}$$ 個の文字列 $${x_1,  x_2,  x_3,  \cdots,  x_n}$$ に作用させると、左から順に互換を作用させて

$$
\begin{align*}
x_1       x_2       x_3       &\cdots       x_{n-2}       x_{n-1}       x_n\\
&\Downarrow   (x_1     x_2)  を作用\\
x_2       x_1       x_3       &\cdots       x_{n-2}       x_{n-1}       x_n\\
&\Downarrow   (x_1     x_3)  を作用\\
x_2       x_3       x_1       &\cdots       x_{n-2}       x_{n-1}       x_n\\
&\hspace{4.5pt}\vdots\\
&\Downarrow   (x_1     x_{n-1})  を作用\\
x_2       x_3       x_4       &\cdots       x_{n-1}       x_1       x_n\\
&\Downarrow   (x_1     x_n)  を作用\\
x_2       x_3       x_4       &\cdots       x_{n-1}       x_n       x_1
\end{align*}
$$

つまり
　$${x_1 \longrightarrow x_2}$$
　$${x_2 \longrightarrow x_3}$$
　$${x_3 \longrightarrow x_4}$$
　　　$${\vdots}$$
　$${x_{n-1} \longrightarrow x_n}$$
　$${x_n \longrightarrow x_1}$$（$${x_1}$$ に戻る）
より
　$${x_1 \rightarrow x_2 \rightarrow x_3 \rightarrow \cdots \rightarrow x_{n-1} \rightarrow x_n \rightarrow x_1 \rightarrow \cdots}$$
と巡回しているので、確かに

$$
\begin{align*}
&(x_1     x_2     x_3     \cdots     x_{n-1}     x_n)\\
=\,&(x_1     x_2)(x_1     x_3)  \cdots  (x_1     x_{n-1}) (x_1     x_n)
\end{align*}
$$

となります。ここでも互換を順に作用させるにつれて、 $${x_1}$$ が１つずつ右に移動していくのが見て取れます。

$$
\begin{align*}
\underline{x_1}       x_2       x_3       &\cdots       x_{n-2}       x_{n-1}       x_n\\
&\Downarrow   (x_1     x_2)  を作用\\
x_2       \underline{x_1}       x_3       &\cdots       x_{n-2}       x_{n-1}       x_n\\
&\Downarrow   (x_1     x_3)  を作用\\
x_2       x_3       \underline{x_1}       &\cdots       x_{n-2}       x_{n-1}       x_n\\
&\hspace{4.5pt}\vdots\\
&\Downarrow   (x_1     x_{n-1})  を作用\\
x_2       x_3       x_4       &\cdots       x_{n-1}       \underline{x_1}       x_n\\
&\Downarrow   (x_1     x_n)  を作用\\
x_2       x_3       x_4       &\cdots       x_{n-1}       x_n       \underline{x_1}\\
&\hspace{74.5pt}\uparrow\\
&\hspace{55.5pt}x_1 が右に移動
\end{align*}
$$

　この式について $${n=2}$$ のときは
　$${(x_1     x_2)=(x_1     x_2)}$$
という自明な式になりますが、$${n=3}$$ のとき
　$${(\underline{x_1}     x_2     x_3)=(\underline{x_1}     x_2)(\underline{x_1}     x_3)}$$
$${n=4}$$ のとき
　$${(\underline{x_1}     x_2     x_3     x_4)=(\underline{x_1}     x_2)(\underline{x_1}     x_3)(\underline{x_1}     x_4)}$$
$${n=5}$$ のとき
　$${(\underline{x_1}     x_2     x_3     x_4     x_5)=(\underline{x_1}     x_2)(\underline{x_1}     x_3)(\underline{x_1}     x_4)(\underline{x_1}     x_5)}$$
　　$${\vdots}$$
と具体的な互換表示が次々と現れます。先頭にある $${x_1}$$（下線部）を共通文字とし、それと残りの文字の互換を順にかけていきます。当然この公式は先頭が $${x_1}$$ 以外のときや、添え字の数字が小さい順に並んでいない場合でも成り立ち、同じ構成法で
　$${(\underline{x_2}     x_3     x_4)=(\underline{x_2}     x_3)(\underline{x_2}     x_4)}$$
　$${(\underline{x_2}     x_4     x_3     x_5     x_1)=(\underline{x_2}     x_4)(\underline{x_2}     x_3)(\underline{x_2}     x_5)(\underline{x_2}     x_1)}$$
と互換の積で表すことができます。今後、必要に応じてこの公式を使っていきます。

注意４　すべての置換は互換、または互換の積で表すことができる。

　まずはある置換を互換や巡回置換の積に分解し、次にその巡回置換を注意３で述べた公式で互換の積に分解すれば、最終的には互換の積だけで表すことができます。例えば、冒頭で述べた５次置換の例でいうと

$$
\begin{align*}
\dbinom{x_1     x_2     x_3     x_4     x_5}{x_2     x_1     x_4     x_5     x_3}&=(x_1     x_2)(x_3     x_4     x_5)\\
&=(x_1     x_2)(x_3     x_4)(x_3     x_5)
\end{align*}
$$

このように、一度互換 $${(x_1     x_2)}$$ と巡回置換 $${(x_3     x_4     x_5)}$$ の積に分解し、次に巡回置換 $${(x_3     x_4     x_5)}$$ を$${(x_3     x_4)(x_3     x_5)}$$ と互換表示すれば、最終的に互換の積だけで表すことができます。

注意５　置換の互換の積の表し方について、その方法は１通りとは限らず、複数通り有る場合がある。

　例えば次のような置換
　$${\dbinom{x_1     x_2     x_3     x_4     x_5}{x_2     x_3     x_1     x_4     x_5}=(x_1     x_2     x_3)}$$
を考えます。これは巡回置換です。この置換は
　$${(x_1     x_2)(x_1     x_3)}$$
または
　$${(x_1     x_3)(x_2     x_3)}$$
などと、複数通りの互換の積で表すことができます。確認のため、これらを $${x_1,  x_2,  x_3,  x_4,  x_5}$$ に作用させて確認してみます。
　$${(x_1     x_2)(x_1     x_3)}$$ を作用させると

$$
\begin{align*}
x_1       x_2       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_2)  を作用\\
x_2       x_1       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_3)  を作用\\
x_2       x_3       &x_1       x_4       x_5     \cdots  (*5)\\
\end{align*}
$$

　$${(x_1     x_3)(x_2     x_3)}$$ を作用させると

$$
\begin{align*}
x_1       x_2       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_3)  を作用\\
x_3       x_2       &x_1       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_2     x_3)  を作用\\
x_2       x_3       &x_1       x_4       x_5     \cdots  (*6)\\
\end{align*}
$$

より 、$${(*5)}$$ と $${(*6)}$$ は同じ結果となり

$$
\begin{align*}
(x_1     x_2     x_3)&=(x_1     x_2)(x_1     x_3)\\
&=(x_1     x_3)(x_2     x_3)
\end{align*}
$$

となります。なお、１つの置換について複数通りの互換表示があるとはいえ、その表し方は偶数個の互換の積になるか、奇数個の互換の積になるかは、あらかじめ決まっていることを注意しておきます。すでにやりましたが、偶数個の互換の積で表せる置換は遇置換、奇数個の互換の積で表せる置換は奇置換となります（$${\Rightarrow}$$ 詳しくは本シリーズ (8)）。

　それではいよいよ、５次置換をすべて互換の積で表していきます。

3. ５次置換をすべて互換の積で表す

　５次置換は全部で

$$
\begin{align*}
&\begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5\\
〇 & △ & \square & ♢ & ♡
\end{pmatrix}\\
&\hspace{9pt}\uparrow\hspace{15pt}\uparrow\hspace{15pt}\uparrow\hspace{15pt}\uparrow\hspace{15pt}\uparrow\\
&\hspace{12pt}5\hspace{1.2pt}\times\hspace{1.2pt}4\hspace{1.2pt}\times\hspace{1.3pt}3\hspace{1.3pt}\times\hspace{1.3pt}2\hspace{1.3pt}\times\hspace{1.3pt}1=120  通り
\end{align*}
$$

より $${120}$$ 通りあることはすでにやりました（$${\Rightarrow}$$ 詳しくは本シリーズ (14)）。この $${120}$$ 通りあるすべての５次置換を互換のみで表示することを考えます。それによって５次置換が遇置換と奇置換に分類されることが明確にわかり、そのうちの遇置換が「３次巡回置換の積で表せる」ことの説明が簡単になります。
　では、動かない文字の個数について場合分けをしていきます。

(case1)　動かない文字が５つの場合

　これは何も変化しない置換、つまり恒等置換
　$${\dbinom{x_1     x_2     x_3     x_4     x_5}{x_1     x_2     x_3     x_4     x_5}=I}$$
の $${1}$$ 通りとなります。恒等置換は
　$${I=(x_1     x_2)(x_1     x_2)}$$
と、同じ互換の積で表すことができます。ある２つの文字を入れ換えた後、もう一度同じ入れ替えをすれば元に戻ります。恒等置換は偶数個の互換の積で表せるので遇置換となります。
　さて、動かない文字が４つの場合は有り得ません。動かない文字が４つということは、１つの文字だけが動くということですが、それは有り得ないからです。動くとしたら２文字以上なので、次の場合分けは、動かない文字が３つの場合となります。

(case2)　動かない文字が３つの場合

　この場合は、１つの互換で表せる場合となります。
（例）
　$${\dbinom{\underline{x_1     x_2}     x_3     x_4     x_5}{\underline{x_2     x_1}     x_3     x_4     x_5}=(\underline{x_1     x_2})}$$

　$${\dbinom{x_1     x_2     \underline{x_3}     x_4     \underline{x_5}}{x_1     x_2     \underline{x_5}     x_4     \underline{x_3}}=(\underline{x_3     x_5})}$$

　下線部が互換となっています。上の例は $${x_1 \leftrightarrow x_2}$$ の互換で、動かない文字は $${x_3,   x_4,  x_5}$$ の３文字、下の例は $${x_3 \leftrightarrow x_5}$$ の互換で、動かない文字は $${x_1,   x_2,  x_4}$$ の３文字となります。
　この場合は、次のように①から⑩の $${10}$$ 通りの互換があります。

$$
\begin{align*}
&(x_1     〇)  型\\
&①       (x_1     x_2)\\
&②       (x_1     x_3)\\
&③       (x_1     x_4)\\
&④       (x_1     x_5)\\[5pt]
&(x_2     〇)  型\\
&⑤       (x_2     x_3)\\
&⑥       (x_2     x_4)\\
&⑦       (x_2     x_5)\\[5pt]
&(x_3     〇)  型\\
&⑧       (x_3     x_4)\\
&⑨       (x_3     x_5)\\[5pt]
&(x_4     〇)  型\\
&⑩       (x_4     x_5)
\end{align*}
$$

$${x_1,  x_2,  x_3,   x_4,  x_5}$$ から２つの文字を選んで得られる互換を、添え字の数字について辞書式に並べます。
　なお、置換についての注意２で述べたように、同じ文字の順番違いである $${(x_1     x_2)}$$ と $${(x_2     x_1)}$$ は同じ互換となるので、添え字の数字の小さい順に並べた $${(x_1     x_2)}$$ のみカウントしていきます。

(case3)　動かない文字が２つの場合

　この場合は、３次巡回置換で表せる場合となります。
（例）
　$${\dbinom{\underline{x_1     x_2     x_3}     x_4     x_5}{\underline{x_2     x_3     x_1}     x_4     x_5}=(\underline{x_1     x_2     x_3})}$$

　$${\dbinom{x_1     \underline{x_2     x_3}     x_4     \underline{x_5}}{x_1     \underline{x_3     x_5}     x_4     \underline{x_5}}=(\underline{x_2     x_3     x_5})}$$

　下線部が巡回置換となっています。上の例は
　$${x_1 \rightarrow x_2 \rightarrow x_3 \rightarrow x_1 \rightarrow \cdots}$$
と巡回し、動かない文字は $${x_4,  x_5}$$ の２文字となります。下の例は
　$${x_2 \rightarrow x_3 \rightarrow x_5 \rightarrow x_2 \rightarrow \cdots}$$
と巡回し、動かない文字は $${x_1,  x_4}$$ の２文字となります。
　この場合は、次のように①から⑳の $${20}$$ 通りの置換があります。なお、３次巡回置換は２つの互換の積で表せることは注意３-２ですでにやったので、そちらの方も示しておきます。

$$
\begin{align*}
&(x_1     〇     〇)  型\\
&①       (x_1     x_2     x_3)=(x_1     x_2)(x_1     x_3)\\
&②       (x_1     x_2     x_4)=(x_1     x_2)(x_1     x_4)\\
&③       (x_1     x_2     x_5)=(x_1     x_2)(x_1     x_5)\\
&④       (x_1     x_3     x_2)=(x_1     x_3)(x_1     x_2)\\
&⑤       (x_1     x_3     x_4)=(x_1     x_3)(x_1     x_4)\\
&⑥       (x_1     x_3     x_5)=(x_1     x_3)(x_1     x_5)\\
&⑦       (x_1     x_4     x_2)=(x_1     x_4)(x_1     x_2)\\
&⑧       (x_1     x_4     x_3)=(x_1     x_4)(x_1     x_3)\\
&⑨       (x_1     x_4     x_5)=(x_1     x_4)(x_1     x_5)\\
&⑩       (x_1     x_5     x_2)=(x_1     x_5)(x_1     x_2)\\
&⑪       (x_1     x_5     x_3)=(x_1     x_5)(x_1     x_3)\\
&⑫       (x_1     x_5     x_4)=(x_1     x_5)(x_1     x_4)\\[5pt]
&(x_2     〇     〇)  型\\
&⑬       (x_2     x_3     x_4)=(x_2     x_3)(x_2     x_4)\\
&⑭       (x_2     x_3     x_5)=(x_2     x_3)(x_2     x_5)\\
&⑮       (x_2     x_4     x_3)=(x_2     x_4)(x_2     x_3)\\
&⑯       (x_2     x_4     x_5)=(x_2     x_4)(x_2     x_5)\\
&⑰       (x_2     x_5     x_3)=(x_2     x_5)(x_2     x_3)\\
&⑱       (x_2     x_5     x_4)=(x_2     x_5)(x_2     x_4)\\[5pt]
&(x_3     〇     〇)  型\\
&⑲       (x_3     x_4     x_5)=(x_3     x_4)(x_3     x_5)\\
&⑳       (x_3     x_5     x_4)=(x_3     x_5)(x_3     x_4)
\end{align*}
$$

最初の１文字を固定して、２文字目、３文字目はそれよりも添え字の数字の大きい文字を辞書式に並べる、という方法で並べていきます。なお、このケースは２つの互換に共通の文字が含まれる場合とみることもできます。いずれも独立ではない互換の積です。
　また、注意２で述べたように、同じ文字の順番違いである $${(x_1     x_2     x_3)}$$ と $${(x_2     x_3     x_1)}$$ と $${(x_3     x_1     x_2)}$$ はすべて同じ巡回置換となるので、添え字の数字の小さい順に並べた $${(x_1     x_2     x_3)}$$ のみカウントしていきす。
　さらに、 $${x_1}$$ はそのままで $${x_2}$$ と $${x_3}$$ を入れ替えた  $${(x_1     x_2     x_3)}$$ と $${(x_1     x_3     x_2)}$$ は別の巡回置換になることも確認しておきます。

(case4)　動かない文字が１つの場合

　これはさらに２つのケースに分けられます。
(case4-1)　共通の文字のない２つの互換の積
(case4-2)　４次巡回置換

(case4-1)　共通の文字のない２つの互換の積

　共通の文字のない２つの互換の積は、例えば次のような置換です。
（例）
　$${\dbinom{\underline{x_1     x_2}     \underline{\underline{x_3     x_4}}     x_5}{\underline{x_2     x_1}     \underline{\underline{x_4     x_3}}     x_5}=(\underline{x_1     x_2})(\underline{\underline{x_3     x_4}})}$$

　$${\dbinom{\underline{x_1}     \underline{\underline{x_2     x_3}}     x_4     \underline{x_5}}{\underline{x_5}     \underline{\underline{x_3     x_4}}     x_4     \underline{x_1}}=(\underline{x_1     x_5})(\underline{\underline{x_2     x_3}})}$$

一重線同士、二重線同士が互換となっています。上の例は
　$${x_1 \leftrightarrow x_2}$$ と $${x_3 \leftrightarrow x_4}$$
の互換の積で、動かない文字は $${x_5}$$ の１文字となります。下の例は
　$${x_1 \leftrightarrow x_5}$$ と $${x_2 \leftrightarrow x_3}$$
の互換の積で、動かない文字は $${x_4}$$ の１文字となります。
　この場合は、次のように①から⑮の $${15}$$ 通りの置換があります。

$$
\begin{align*}
&(x_1     x_2)(〇     △)  型\\
&①       (x_1     x_2)(x_3     x_4)\\
&②       (x_1     x_2)(x_3     x_5)\\
&③       (x_1     x_2)(x_4     x_5)\\[5pt]
&(x_1     x_3)(〇     △)  型\\
&④       (x_1     x_3)(x_2     x_4)\\
&⑤       (x_1     x_3)(x_2     x_5)\\
&⑥       (x_1     x_3)(x_4     x_5)\\[5pt]
&(x_1     x_4)(〇     △)  型\\
&⑦       (x_1     x_4)(x_2     x_3)\\
&⑧       (x_1     x_4)(x_2     x_5)\\
&⑨       (x_1     x_4)(x_3     x_5)\\[5pt]
&(x_1     x_5)(〇     △)  型\\
&⑩       (x_1     x_5)(x_2     x_3)\\
&⑪       (x_1     x_5)(x_2     x_4)\\
&⑫       (x_1     x_5)(x_3     x_4)\\[5pt]
&(x_2     x_3)(〇     △)  型\\
&⑬       (x_2     x_3)(x_4     x_5)\\[5pt]
&(x_2     x_4)(〇     △)  型\\
&⑭       (x_2     x_4)(x_3     x_5)\\[5pt]
&(x_2     x_5)(〇     △)  型\\
&⑮       (x_2     x_5)(x_3     x_4)
\end{align*}
$$

最初の互換の文字を固定し、残りの文字で、次の互換を添え字の数字について辞書式に並べます。なお、２つの互換に共通の文字が含まれておらず互いに独立している場合は、どちらを先に作用させても同じ置換となることは冒頭や注意１でやりました。つまり
　$${(x_1     x_2)(x_3     x_4)=(x_3     x_4)(x_1     x_2)}$$
となるので、添え字の数字の小さい順に並べた $${(x_1     x_2)(x_3     x_4)}$$ のみカウントしていきます。

(case4-2)　４次巡回置換

　４次巡回置換は、例えば次のような置換です。
（例）
　$${\dbinom{\underline{x_1     x_2     x_3     x_4}     x_5}{\underline{x_2     x_3     x_4     x_1}     x_5}=(x_1     x_2     x_3     x_4)}$$

　$${\dbinom{\underline{x_1     x_2     x_3}     x_4     \underline{x_5}}{\underline{x_3     x_5     x_2}     x_4     \underline{x_1}}=(x_1     x_3     x_2     x_5)}$$

下線部が巡回置換となっています。上の例は
　$${x_1 \rightarrow x_2 \rightarrow x_3 \rightarrow x_4 \rightarrow x_1 \rightarrow \cdots}$$
と巡回し、動かない文字は $${x_5}$$ の１文字となります。下の例は
　$${x_1 \rightarrow x_3 \rightarrow x_2 \rightarrow x_5 \rightarrow x_1 \rightarrow \cdots}$$
と巡回し、動かない文字は $${x_4}$$ の１文字となります。
　この場合は、次のように①から㉚の $${30}$$ 通りの置換があります。４次巡回置換は３つの互換の積で表せることは注意３-３ですでにやったので、そちらの方も示しておきます。

$$
\begin{align*}
&x_1,  x_2,  x_3,  x_4 を用いる場合（x_5 を使わない場合）\\
&①       (x_1     x_2     x_3     x_4)=(x_1     x_2)(x_1     x_3)(x_1     x_4)\\
&②       (x_1     x_2     x_4     x_3)=(x_1     x_2)(x_1     x_4)(x_1     x_3)\\
&③       (x_1     x_3     x_2     x_4)=(x_1     x_3)(x_1     x_2)(x_1     x_4)\\
&④       (x_1     x_3     x_4     x_2)=(x_1     x_3)(x_1     x_4)(x_1     x_2)\\
&⑤       (x_1     x_4     x_2     x_3)=(x_1     x_4)(x_1     x_2)(x_1     x_3)\\
&⑥       (x_1     x_4     x_3     x_2)=(x_1     x_4)(x_1     x_3)(x_1     x_2)\\[5pt]
&x_1,  x_2,  x_3,  x_5 を用いる場合（x_4 を使わない場合）\\
&⑦       (x_1     x_2     x_3     x_5)=(x_1     x_2)(x_1     x_3)(x_1     x_5)\\
&⑧       (x_1     x_2     x_5     x_3)=(x_1     x_2)(x_1     x_5)(x_1     x_3)\\
&⑨       (x_1     x_3     x_2     x_5)=(x_1     x_3)(x_1     x_2)(x_1     x_5)\\
&⑩       (x_1     x_3     x_5     x_2)=(x_1     x_3)(x_1     x_5)(x_1     x_2)\\
&⑪       (x_1     x_5     x_2     x_3)=(x_1     x_5)(x_1     x_2)(x_1     x_3)\\
&⑫       (x_1     x_5     x_3     x_2)=(x_1     x_5)(x_1     x_3)(x_1     x_2)\\[5pt]
&x_1,  x_2,  x_4,  x_5 を用いる場合（x_3 を使わない場合）\\
&⑬       (x_1     x_2     x_4     x_5)=(x_1     x_2)(x_1     x_4)(x_1     x_5)\\
&⑭       (x_1     x_2     x_5     x_4)=(x_1     x_2)(x_1     x_5)(x_1     x_4)\\
&⑮       (x_1     x_4     x_2     x_5)=(x_1     x_4)(x_1     x_2)(x_1     x_5)\\
&⑯       (x_1     x_4     x_5     x_2)=(x_1     x_4)(x_1     x_5)(x_1     x_2)\\
&⑰       (x_1     x_5     x_2     x_4)=(x_1     x_5)(x_1     x_2)(x_1     x_4)\\
&⑱       (x_1     x_5     x_4     x_2)=(x_1     x_5)(x_1     x_4)(x_1     x_2)\\[5pt]
&x_1,  x_3,  x_4,  x_5 を用いる場合（x_2 を使わない場合）\\
&⑲       (x_1     x_3     x_4     x_5)=(x_1     x_3)(x_1     x_4)(x_1     x_5)\\
&⑳       (x_1     x_3     x_5     x_4)=(x_1     x_3)(x_1     x_5)(x_1     x_4)\\
&㉑       (x_1     x_4     x_3     x_5)=(x_1     x_4)(x_1     x_3)(x_1     x_5)\\
&㉒       (x_1     x_4     x_5     x_3)=(x_1     x_4)(x_1     x_5)(x_1     x_3)\\
&㉓       (x_1     x_5     x_3     x_4)=(x_1     x_5)(x_1     x_3)(x_1     x_4)\\
&㉔       (x_1     x_5     x_4     x_3)=(x_1     x_5)(x_1     x_4)(x_1     x_3)\\[5pt]
&x_2,  x_3,  x_4,  x_5 を用いる場合（x_1 を使わない場合）\\
&⑲       (x_2     x_3     x_4     x_5)=(x_2     x_3)(x_2     x_4)(x_2     x_5)\\
&⑳       (x_2     x_3     x_5     x_4)=(x_2     x_3)(x_2     x_5)(x_2     x_4)\\
&㉑       (x_2     x_4     x_3     x_5)=(x_2     x_4)(x_2     x_3)(x_1     x_5)\\
&㉒       (x_2     x_4     x_5     x_3)=(x_2     x_4)(x_ 2    x_5)(x_1     x_3)\\
&㉓       (x_2     x_5     x_3     x_4)=(x_2     x_5)(x_2     x_3)(x_2     x_4)\\
&㉔       (x_2     x_5     x_4     x_3)=(x_2     x_5)(x_2     x_4)(x_2     x_3)
\end{align*}
$$

　数え方として、どの４つの文字を使うかによって場合分けをします。４つの文字が決まれば、あとは添え字の文字について辞書式に並べていきます。

(case5)　動かない文字が０の場合

　これはさらに２つのケースに分けられます。
(case5-1)　互いに共通の文字のない、１つの互換と３次巡回置換との積
(case5-2)　５次巡回置換

(case5-1)　互いに共通の文字のない、１つの互換と３次巡回置換との積

　互いに共通の文字のない、１つの互換と３次巡回置換との積は、例えば次のような置換です。
（例）
　$${\dbinom{\underline{x_1     x_2}     \underline{\underline{x_3     x_4     x_5}}}{\underline{x_2     x_1}     \underline{\underline{x_4     x_5     x_3}}}=(\underset{互換}{\underline{x_1     x_2}})(\underset{３次巡回置換}{\underline{\underline{x_3     x_4     x_5}}})}$$

　$${\dbinom{\underline{\underline{x_1}}     \underline{x_2}     \underline{\underline{x_3     x_4}}     \underline{x_5}}{\underline{\underline{x_4}}     \underline{x_5}     \underline{\underline{x_1     x_3}}     \underline{x_2}}=(\underset{互換}{\underline{x_2     x_5}})(\underset{３次巡回置換}{\underline{\underline{x_1     x_4     x_3}}})}$$

一重線部が互換、二重線部が３次巡回置換となっています。上の例は
　$${x_1 \leftrightarrow x_2}$$
の互換と
　$${x_3 \rightarrow x_4 \rightarrow x_5 \rightarrow x_3 \rightarrow \cdots}$$
の３次巡回置換との積で、動かない文字はありません。下の例は
　$${x_2 \leftrightarrow x_5}$$
の互換と
　$${x_1 \rightarrow x_4 \rightarrow x_3 \rightarrow x_1 \rightarrow \cdots}$$
の３次巡回置換との積で、こちらも動かない文字はありません。
　この場合は、次のように①から⑳の $${20}$$ 通りの置換があります。３次巡回置換は２つの互換の積で表せることは注意３-２ですでにやったので、そちらの方も示しておきます。

$$
\begin{align*}
&(x_1     〇)  型\\
&①       (x_1     x_2)(x_3     x_4     x_5)=(x_1     x_2)(x_3     x_4)(x_3     x_5)\\
&②       (x_1     x_2)(x_3     x_5     x_4)=(x_1     x_2)(x_3     x_5)(x_3     x_4)\\
&③       (x_1     x_3)(x_2     x_4     x_5)=(x_1     x_3)(x_2     x_4)(x_2     x_5)\\
&④       (x_1     x_3)(x_2     x_5     x_4)=(x_1     x_3)(x_2     x_5)(x_2     x_4)\\
&⑤       (x_1     x_4)(x_2     x_3     x_5)=(x_1     x_4)(x_2     x_3)(x_2     x_5)\\
&⑥       (x_1     x_4)(x_2     x_5     x_3)=(x_1     x_4)(x_2     x_5)(x_2     x_3)\\
&⑦       (x_1     x_5)(x_2     x_3     x_4)=(x_1     x_4)(x_2     x_3)(x_2     x_4)\\
&⑧       (x_1     x_5)(x_2     x_4     x_3)=(x_1     x_5)(x_2     x_4)(x_2     x_3)\\[5pt]
&(x_2     〇)  型\\
&⑨       (x_2     x_3)(x_1     x_4     x_5)=(x_2     x_3)(x_1     x_4)(x_1     x_5)\\
&⑩       (x_2     x_3)(x_1     x_5     x_4)=(x_2     x_3)(x_1     x_5)(x_1     x_4)\\
&⑪       (x_2     x_4)(x_1     x_3     x_5)=(x_2     x_4)(x_1     x_3)(x_1     x_5)\\
&⑫       (x_2     x_4)(x_1     x_5     x_3)=(x_2     x_4)(x_1     x_5)(x_1     x_3)\\
&⑬       (x_2     x_5)(x_1     x_3     x_4)=(x_2     x_5)(x_1     x_3)(x_1     x_4)\\
&⑭       (x_2     x_5)(x_1     x_4     x_3)=(x_2     x_5)(x_1     x_4)(x_1     x_3)\\[5pt]
&(x_3     〇)  型\\
&⑮       (x_3     x_4)(x_1     x_2     x_5)=(x_3     x_4)(x_1     x_2)(x_1     x_5)\\
&⑯       (x_3     x_4)(x_1     x_5     x_2)=(x_3     x_4)(x_1     x_5)(x_1     x_2)\\
&⑰       (x_3     x_5)(x_1     x_2     x_4)=(x_3     x_5)(x_1     x_2)(x_1     x_4)\\
&⑱       (x_3     x_5)(x_1     x_4     x_2)=(x_3     x_5)(x_1     x_4)(x_1     x_2)\\[5pt]
&(x_4     〇)  型\\
&⑲       (x_4     x_5)(x_1     x_2     x_3)=(x_4     x_5)(x_1     x_2)(x_1     x_3)\\
&⑳       (x_4     x_5)(x_1     x_3     x_2)=(x_4     x_5)(x_1     x_3)(x_1     x_2)
\end{align*}
$$

先に互換の２文字を固定し、残りの文字で、３次巡回置換を添え字の数字について辞書式に並べていきます。

(case5-2)　５次巡回置換

　５次巡回置換は、例えば次のような置換です。
（例）
　$${\dbinom{\underline{x_1     x_2     x_3     x_4     x_5}}{\underline{x_2     x_3     x_4     x_5     x_1}}=(\underline{x_1     x_2     x_3     x_4     x_5})}$$

　$${\dbinom{\underline{x_1     x_2     x_3     x_4     x_5}}{\underline{x_3     x_5     x_2     x_1     x_4}}=(\underline{x_1     x_3     x_2     x_5     x_4})}$$

　下線部全体が５次巡回置換となっています。上の例は
　$${x_1 \rightarrow x_2 \rightarrow x_3 \rightarrow x_4 \rightarrow x_5 \rightarrow x_1 \rightarrow \cdots}$$
と巡回しながら置き換わり、下の例は
　$${x_1 \rightarrow x_3 \rightarrow x_2 \rightarrow x_5 \rightarrow x_4 \rightarrow x_1 \rightarrow \cdots}$$
と巡回しながら置き換わります。
　この場合は、次のように①から㉔の $${24}$$ 通りの置換があります。５次巡回置換は４つの互換の積で表せることは注意３-４ですでにやったので、そちらの方も示しておきます。

$$
\begin{align*}
&(x_1     x_2     〇     △     \square)  型\\
&①       (x_1     x_2     x_3     x_4     x_5)=(x_1     x_2)(x_1     x_3)(x_1     x_4)(x_1     x_5)\\
&②       (x_1     x_2     x_3     x_5     x_4)=(x_1     x_2)(x_1     x_3)(x_1     x_5)(x_1     x_4)\\
&③       (x_1     x_2     x_4     x_3     x_5)=(x_1     x_2)(x_1     x_4)(x_1     x_3)(x_1     x_5)\\
&④       (x_1     x_2     x_4     x_5     x_3)=(x_1     x_2)(x_1     x_4)(x_1     x_5)(x_1     x_3)\\
&⑤       (x_1     x_2     x_5     x_3     x_4)=(x_1     x_2)(x_1     x_5)(x_1     x_3)(x_1     x_4)\\
&⑥       (x_1     x_2     x_5     x_4     x_3)=(x_1     x_2)(x_1     x_5)(x_1     x_4)(x_1     x_3)\\[5pt]
&(x_1     x_3     〇     △     \square)  型\\
&⑦       (x_1     x_3     x_2     x_4     x_5)=(x_1     x_3)(x_1     x_2)(x_1     x_4)(x_1     x_5)\\
&⑧       (x_1     x_3     x_2     x_5     x_4)=(x_1     x_3)(x_1     x_2)(x_1     x_5)(x_1     x_4)\\
&⑨       (x_1     x_3     x_4     x_2     x_5)=(x_1     x_3)(x_1     x_4)(x_1     x_2)(x_1     x_5)\\
&⑩       (x_1     x_3     x_4     x_5     x_2)=(x_1     x_3)(x_1     x_4)(x_1     x_5)(x_1     x_2)\\
&⑪       (x_1     x_3     x_5     x_2     x_4)=(x_1     x_3)(x_1     x_5)(x_1     x_2)(x_1     x_4)\\
&⑫       (x_1     x_3     x_5     x_4     x_2)=(x_1     x_3)(x_1     x_5)(x_1     x_4)(x_1     x_2)\\[5pt]
&(x_1     x_4     〇     △     \square)  型\\
&⑬       (x_1     x_4     x_2     x_3     x_5)=(x_1     x_4)(x_1     x_2)(x_1     x_3)(x_1     x_5)\\
&⑭       (x_1     x_4     x_2     x_5     x_3)=(x_1     x_4)(x_1     x_2)(x_1     x_5)(x_1     x_3)\\
&⑮       (x_1     x_4     x_3     x_2     x_5)=(x_1     x_4)(x_1     x_3)(x_1     x_2)(x_1     x_5)\\
&⑯       (x_1     x_4     x_3     x_5     x_2)=(x_1     x_4)(x_1     x_3)(x_1     x_5)(x_1     x_2)\\
&⑰       (x_1     x_4     x_5     x_2     x_3)=(x_1     x_4)(x_1     x_5)(x_1     x_2)(x_1     x_3)\\
&⑱       (x_1     x_4     x_5     x_3     x_2)=(x_1     x_4)(x_1     x_5)(x_1     x_3)(x_1     x_2)\\[5pt]
&(x_1     x_5     〇     △     \square)  型\\
&⑲       (x_1     x_5     x_2     x_3     x_4)=(x_1     x_5)(x_1     x_2)(x_1     x_3)(x_1     x_4)\\
&⑳       (x_1     x_5     x_2     x_4     x_3)=(x_1     x_5)(x_1     x_2)(x_1     x_4)(x_1     x_3)\\
&㉑       (x_1     x_5     x_3     x_2     x_4)=(x_1     x_5)(x_1     x_3)(x_1     x_2)(x_1     x_4)\\
&㉒       (x_1     x_5     x_3     x_4     x_2)=(x_1     x_5)(x_1     x_3)(x_1     x_4)(x_1     x_2)\\
&㉓       (x_1     x_5     x_4     x_2     x_3)=(x_1     x_5)(x_1     x_4)(x_1     x_2)(x_1     x_3)\\
&㉔       (x_1     x_5     x_4     x_3     x_2)=(x_1     x_5)(x_1     x_4)(x_1     x_3)(x_1     x_2)
\end{align*}
$$

　なお、次のような巡回する順番違い
　$${(x_1     x_2     x_3     x_4     x_5)}$$
　$${(x_2     x_3     x_4     x_5     x_1)}$$
　$${(x_3     x_4     x_5     x_1     x_2)}$$
　$${(x_4     x_5     x_1     x_2     x_3)}$$
　$${(x_5     x_1     x_2     x_3     x_4)}$$
はすべて同じ置換
　$${(x_1     x_2     x_3     x_4     x_5)}$$
となります。よって最初の文字 $${x_1}$$ を先頭に固定し、２列目からは $${x_2,  x_3,  x_4,  x_5}$$ を添え字の数字について辞書式に並べていきます。$${x_1}$$ 以外の４つの文字の並べ方をカウントすればいいことになります。
　$${(\underset{固定}{\underline{x_1}}  \hspace{-0pt}\underset{この  4  文字の並べ替え}{\underline{x_2     x_3     x_4     x_5}}\hspace{-3pt})}$$

4. ５次置換を遇置換と奇置換に分類

　以上をまとめると、次のようになります。それぞれ遇置換か奇置換かも明示していきます。偶数個の互換の積が遇置換、奇数個の互換の積が奇置換です。

(case1)　動かない文字が５つの場合　$${1}$$ 通り　遇置換
例　恒等置換 $${I=(x_1     x_2)(x_1     x_2)}$$
(case2)　動かない文字が３つの場合　$${10}$$ 通り　奇置換
例　互換 $${(x_1     x_2)}$$
(case3)　動かない文字が２つの場合　$${20}$$ 通り　遇置換
例　３次巡回置換 $${(x_1     x_2     x_3)=(x_1     x_2)(x_1     x_3)}$$
　　これは共通の文字が１つある２つの互換の積とみることもできる。
(case4)　動かない文字が１つの場合
　(case4-1)     共通の文字のない２つの互換の積　$${15}$$ 通り　遇置換
例　$${(x_1     x_2)(x_3     x_4)}$$
　(case4-2)　４次巡回置換　$${30}$$ 通り　奇置換
例　$${(x_1     x_2     x_3     x_4)=(x_1     x_2)(x_1     x_3)(x_1     x_4)}$$
(case5)　動かない文字が０の場合
　(case5-1)　互いに共通の文字のない、１つの互換と３次巡回置換との積　$${20}$$ 通り　奇置換
例　$${(x_1     x_2)(x_3     x_4     x_5)=(x_1     x_2)(x_3     x_4)(x_3     x_5)}$$
　(case5-2)　５次巡回置換　$${24}$$ 通り
例　$${(x_1     x_2     x_3     x_4     x_5)=(x_1     x_2)(x_1     x_3)(x_1     x_4)(x_1     x_5)}$$　遇置換

　全部で何通りあるかを確認すると
　(case1)+(case2)+(case3)+(case4-1)+(case4-2)+(case5-1)+(case5-2)
$${＝1+10+20+15+30+20+24}$$
$${=120}$$ 通り
となり、前にやった５つの異なる文字
　$${x_1     x_2     x_3     x_4     x_5}$$
を１列に並べる並べ方の総数

$$
\begin{align*}
&\begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5\\
〇 & △ & \square & ♢ & ♡
\end{pmatrix}\\
&\hspace{9pt}\uparrow\hspace{15pt}\uparrow\hspace{15pt}\uparrow\hspace{15pt}\uparrow\hspace{15pt}\uparrow\\
&\hspace{12pt}5\hspace{1.2pt}\times\hspace{1.2pt}4\hspace{1.2pt}\times\hspace{1.3pt}3\hspace{1.3pt}\times\hspace{1.3pt}2\hspace{1.3pt}\times\hspace{1.3pt}1=120  通り
\end{align*}
$$

と同じになります。さらに、恒等置換は
　$${I=(x_1     x_2)(x_1     x_2)}$$
と同じ互換の２つの積で表せることに注意すると、偶数個の互換の積で表せる遇置換は
　(case1)+(case3)+(case4-1)+(case5-2)
$${＝1+20+15+24}$$
$${=60}$$ 通り
　奇数個の互換の積で表せる奇置換は
　(case2)+(case4-2)+(case5-1)
$${＝10+30+20}$$
$${=60}$$ 通り
となり、遇置換と奇置換の数はちょうど半分ずつの $${60}$$ 通りになります」
「なるほど」と竹村はうなずいた。$${120}$$ 通りある５次置換をすべて書き表して具体的に数え上げる、いう発想は自分には無かった。
「さて森田君、この続きは・・・」
竹村が口にすると
「のどが渇いたので少し休憩をいれてもいいですか？」
　そういえば水分を１滴も飲まずここまで進めた今日のゼミ。
「先生今日はいいのがあるよ。お母さん、クリームソーダ！」
　２人分のクリームソーダが机に並べられた。
「森田君どこまで準備したんだっけ？」
「先ほど述べた $${60}$$ 通りの遇置換は、すべて３次巡回置換で表せるとこまでです。続いてそのことを説明します。ただ・・・」
「ただ？」
「矛盾までは導き出せていません・・・」
「そこが急所だね。５次方程式の解の公式が存在すると仮定して、どこかで矛盾を導き出し、存在しないことを証明する。やれるところまでやってみる？やっていくうちに何か気付くかもしれないよ」
「わかりました」
　2人は今後のゼミの展開をイメージしながら、ゆっくりとクリームソーダをすすった。

（続く）

（注１）等しくなることの証明

　$${(x_1     x_2)(x_3     x_4)}$$ と $${(x_1     x_2     x_4)(x_1     x_3     x_4)}$$ が等しくなることを確認してみます。
　$${(x_1     x_2)(x_3     x_4)}$$ は

$$
\begin{align*}
x_1       x_2       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_2)  を作用\\
x_2       x_1       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_3     x_4)  を作用\\
x_2       x_1       &x_4       x_3       x_5     \cdots  (*7)
\end{align*}
$$

一方、$${(x_1     x_2     x_4)(x_1     x_3     x_4)}$$ は

$$
\begin{align*}
x_1       x_2       &x_3       x_4       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_2     x_4)  を作用\\
x_2       x_4       &x_3       x_1       x_5\\
&\Downarrow   (x_1     x_3     x_4)  を作用\\
x_2       x_1       &x_4       x_3       x_5     \cdots  (*8)
\end{align*}
$$

となり $${(*7)}$$ と $${(*8)}$$ は等しく、どちらも同じ置換

$$
\begin{align*}
\dbinom{x_1     x_2     x_3     x_4     x_5}{x_2     x_1     x_4     x_3     x_5}
&=\underset{遇置換}{\underline{(x_1     x_2)(x_3     x_4)}}\\
&=\underset{３次巡回置換の積}{\underline{(x_1     x_2     x_4)(x_1     x_3     x_4)}}
\end{align*}
$$

となります。

（注２）作用の順番について

　教科書や解説書では「後ろから作用させる」のが正しいようです。本シリーズでは分かりやすさを重視して前から作用させると定義しました。

（参考）各章の内容

（１）「２次方程式の解の公式」を式変形で導出
　　　・平方完成
（２）「３次方程式の解の公式」を導出するための準備
　　　・$${1}$$ の３乗根 $${\omega}$$
（３）「３次方程式の解の公式」を式変形で導出
　　　・チルンハウス変換
（４）「解と係数の関係」と「対称式」の解説
（５）「対称式」を用いた「２次方程式の解の公式」の導出
（６）「解の置換」と「ラグランジュ・リゾルベント」の解説
（７）「ラグランジュ・リゾルベント」による「３次方程式の解の公式」の導出
（８）「遇置換」と「奇置換」の解説（ここから「アーベルの証明」の準備）
（９）「差積の２乗」が対称式となることを解説
（10）「平方根」「３乗根」と次々と累乗根を加えていくアイデア
（11）「アーベルの証明」のアイデアを用いて、なぜ「２次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（添加する式について加筆予定）
（12）「アーベルの証明」のアイデアを用いて、なぜ「３次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（前編）。「差積の２乗の平方根」を用いて対称性を保つ置換を「遇置換」にまで絞り込む。
（13）「アーベルの証明」のアイデアを用いて、なぜ「３次方程式の解の公式が存在するのか」を解説（後編）。「ラグランジュ・リゾルベント」を用いて対称性を保つ置換を「恒等置換」にまで絞り込む。$${\longrightarrow}$$ ３次方程式の解の公式の完成
（14）「アーベルの証明」の解説。５次方程式の解の差積（または差積の２乗の平方根）を添加して、加減乗除ができる式の範囲を拡大。その結果、対称性を５次置換から遇置換（遇置換シンメトリー）へと絞り込む。
（15）「アーベルの証明」の解説。すべての置換は互換で表せることから、５次置換をすべて互換の積で表して、遇置換と奇置換に分類。それによって、そのうちの遇置換が「３次巡回置換の積で表せる」ことの説明が簡単になる。
（16）（予定）「アーベルの証明」の解説。すべての遇置換は３次巡回置換の積で表されること。さらには任意の３次巡回置換が５次巡回置換の積で表せることによって、「５次方程式には解の公式が存在しない」ことが証明されることの解説。