５次以上の方程式になぜ解の公式が存在しないのか？（４）「解と係数の関係」と「対称式」

　竹村の家庭教師が始まった。
「森田君、前回まで２次方程式と３次方程式の解の公式をやったね。導き方は前回やったので、ここでは結果だけ確認しておこう」

＜２次方程式の解の公式＞
　２次方程式 $${ax^2+bx+c=0}$$ の解は

$$
{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}
$$

＜３次方程式の解の公式＞
　３次方程式 $${ax^3+bx^2+cx+d=0}$$ の解は

$$
{\begin{align*}
x= \begin{cases}
-\dfrac{b}{3a}+\sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2}+\sqrt{
\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}
}}
+\sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2}-\sqrt{
\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}
}}\\
-\dfrac{b}{3 a}+\omega \sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2}+\sqrt{
\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}
}}
+\omega^{2} \sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2}-\sqrt{
\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}
}}\\
-\dfrac{b}{3a}+\sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2}+\sqrt{
 \left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}
}}
+\sqrt[3]{
-\dfrac{q}{2}-\sqrt{
\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}
}}
\end{cases}
\end{align*}}
$$

ただし

$$
{\begin{align*}
p&=-\frac{1}{3}\left(\frac{b}{a}\right)^{2}+\frac{c}{a}\\
q&=\frac{2}{27}\left(\frac{b}{a}\right)^{3}-\frac{1}{3}\left(\frac{b}{a}\right)\left(\frac{c}{a}\right)+\frac{d}{a}
\end{align*}}
$$

非常に複雑な式だけど、$${x}$$ の中に $${p}$$ と $${q}$$ があるね。その $${p}$$ と $${q}$$ は２次方程式の係数 $${a,b,c,d}$$ を用いて下の２式で計算出来るので、その値を先に改めて $${x}$$ に代入していけば解が求まるというわけ。$${x}$$ は３通りあるのでちゃんと３つの解をもつよ」
「『代数学の基本定理』ですね」
「そうそう、３次方程式は同じ解も含めて必ず３つの解をもつよ。
　さて前回、４次方程式までは解の公式が作れて、５次以上になると解の公式は作れない、つまり解の公式は存在しないという話をしたね」
「はい」
「では折角その話になったので、５次以上の方程式になるとなぜ解の公式は作れないのか、完全な証明ではないけど大まかに説明してみようか」
「分かりました！！！」
　５次以上はやらないと思っていた小学５年生の森田君。予想外の展開に胸を躍らす。
「いきなり本題は無理なので、今日は『解と係数の関係』と『対称式』というのを勉強しよう。少しずつ進めていくよ」
「はい」と森田君の声が響いた。

＜解と係数の関係＞
「２次方程式 $${ax^2+bx+c=0}$$ の２つの解を $${\alpha,\beta}$$ としよう。さっき森田君が言った『代数学の基本定理』、同じになる重解も含めて２次方程式には必ず２つの解が存在するので $${\alpha,\beta}$$ とおけるんだね。すると解 $${\alpha,\beta}$$ とその２次方程式の係数に関して、次の２つの等式が成り立つよ。

$$
{\begin{align*}
\alpha+\beta&=-\dfrac{b}{a}\\
\alpha\beta&=\dfrac{c}{a}
\end{align*}}
$$

つまり２つの解を直接求めなくても、その解の和と積は係数を使って求めることができるというわけだね。解を足したのは $${-\dfrac{b}{a}}$$ で、解を掛けたのは $${\dfrac{c}{a}}$$ で求まるというわけ。証明は簡単。 $${\alpha, \beta}$$ を解に持つ２次方程式を実際に作ってみればいい。
　まず $${\alpha, \beta}$$ を解に持つ２次方程式で、$${x^2}$$ の係数が $${a(\not=0)}$$ となる２次方程式は次のように書ける。

$$
{\begin{align*}
a(x-\alpha)(x-\beta)=0　・・・①
\end{align*}}
$$

では森田君。例えば $${1, 2}$$ を解に持つ２次方程式で、$${x^2}$$ の係数が $${a}$$ となるような２次方程式はどうなるかな？」
「$${a(x-1)(x-2)=0}$$ です」
　即答する森田君。
「そうだね。実際 $${a(x-1)(x-2)=0}$$ を解くと、$${x-1=0}$$ または $${x-2=0}$$ より、その解は確かに $${x=1, 2}$$ となるね。それでは、先ほどの①式を展開してみよう。$${a\underline{(x-\alpha)(x-\beta)}=0}$$ の下線部を展開すると

$$
{\begin{gather*}
a\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\}=0\\
\end{gather*}}
$$

$${a}$$ を分配して

$$
{\begin{gather*}
ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta=0
\end{gather*}}
$$

これが $${ax^2+bx+c=0}$$ と同じになるには係数が同じになれば良いので、下式の１重線同士、２重線同士と係数をイコールで結んで

$$
{\begin{alignat*}{3}
ax^2& & \underline{+b}x& & \underline{\underline{+c}}&=0\\
ax^2& & \underline{-a(\alpha+\beta)}x& & \thinspace\underline{\underline{+a\alpha\beta}}&=0
\end{alignat*}} 
$$

$$
{\begin{align*}
b&=-a(\alpha+\beta)\\
c&=a(\alpha\beta)
\end{align*}}
$$

左右入れ替えて

$$
{\begin{align*}
-a(\alpha+\beta)&=b\\
a(\alpha\beta)&=c
\end{align*}}
$$

各々の両辺を $${a(\not=0)}$$ で割れば

$$
{\begin{align*}
\alpha+\beta&=-\dfrac{b}{a}\\　
\alpha\beta&=\dfrac{c}{a}
\end{align*}}
$$

となり、これで証明されたね。まとめておこう」　

＜２次方程式の解と係数の関係＞
　２次方程式 $${ax^2+bx+c=0}$$ の２つの解を $${\alpha, \beta}$$ とすると、次の式が成り立つ。
　　　　　$${\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}}$$　
　　　　　$${\alpha\beta=\dfrac{c}{a}}$$

「実はこの『解と係数の関係』。３次方程式にも存在するんだよ」
「３次方程式にも？」
「そうそう。正確に言うと、３次だけではなく、４次、５次、$${\cdots}$$、さらには一般の$${n}$$ 次方程式についても存在している。それではまず３次方程式について述べてみよう。

<３次方程式の解と係数の関係> 
　３次方程式 $${ax^3+bx^2+cx+d=0}$$ の $${3}$$ つの解を $${\alpha, \beta}$$, $${\gamma}$$ とすると、次の等式が成り立つ。
　　　　$${\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}}$$
　　　　$${\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a}}$$
　　　　$${\alpha\beta\gamma=-\dfrac{c}{a}}$$

続いて４次方程式は

＜４次方程式の解と係数の関係＞
　４次方程式 $${a x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$$ の $${4}$$ つの解を $${\alpha, \beta, \gamma, \delta}$$ とすると、次の等式が成り立つ。
　　　$${\alpha+\beta+\gamma+\delta=-\dfrac{b}{a}}$$
　　　$${\alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma+\beta \delta+\gamma\delta=\dfrac{c}{a}}$$
　　　$${\alpha\beta\gamma+\alpha\beta\delta+\alpha\gamma\delta+\beta \gamma\delta=-\dfrac{d}{a}}$$
　　　$${\alpha \beta \gamma \delta=\dfrac{e}{a}}$$

すると森田君。何か法則性に気付くかな？」
「最初にくる式は１個の解のすべての和になっています。２つ目にくるのは２個の解の積のすべての和、３つ目にくるのは３個の解の積のすべての和、４つ目は４個の積になっています」
　またもや森田君は即答した。
「そうだね。４次方程式で確認すると

$$
{\begin{align*}
\underbrace{\alpha+\beta+\gamma+\delta}_{\text{1 個ずつの和}}&=-\dfrac{b}{a}\\
\underbrace{\alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma+\beta \delta+\gamma\delta}_{\text{2 個の積の和}}&=\dfrac{c}{a}\\
\underbrace{\alpha\beta\gamma+\alpha\beta\delta+\alpha\gamma\delta+\beta \gamma\delta}_{\text{3 個の積の和}}&=-\dfrac{d}{a}\\
\underbrace{\alpha \beta \gamma \delta}_{4 個の積}&=\dfrac{e}{a}\\
\end{align*}}
$$

そうすると、式が長くなるのでやらないけど、５次方程式やそれ以上の次数の方程式にも、１個の和、２個の積の和、３個の積の和、４個の積の和、５個の積の和、$${\cdots}$$、 $${n}$$ 個の積と順次組み立てていけば、一般に $${n}$$ 次方程式についても『解と係数の関係』を得ることができるんだね」
「先生分かりました」
「分かった！？これは高校２年で勉強するんだけど・・・。では今度は対象式について勉強していこう」

＜対称式について＞

「先ほど２次方程式でやった『解と係数の関係』の $${\alpha+\beta}$$ と $${\alpha\beta}$$。この式を見て何か気付くかな？ $${\alpha}$$ と $${\beta}$$ を入れ替えても同じ式になるね。

$$
{\begin{align*}
\alpha+\beta&=\beta+\alpha &\Leftarrow 同じ式\\
\alpha\beta&=\beta\alpha &\Leftarrow 同じ式
\end{align*}}
$$

当たり前と言えば当たり前なんだけどね。$${2+3}$$ と $${3+2}$$ は同じ、$${2 \times 3}$$ と $${3 \times 2}$$ も同じ。このように、文字を入れ換えても変わらない式のことを『対称式』というよ。
　では $${\alpha-\beta}$$ は対称式かな？　$${\alpha}$$ と $${\beta}$$ を入れ替えると

$$
{\begin{align*}
\alpha-\beta \ne \beta-\alpha　\Leftarrow 違う式
\end{align*}}
$$

となり対称式にならない。$${2-3}$$ と $${3-2}$$ は違うのでこれも当たり前。$${3-3}$$ とか成り立つ場合もあるけど、一般には成り立たないということだね。さらに他の対称式として、例えば $${\alpha^2+\beta^2}$$ というのもあるね。これも、$${\alpha}$$ と $${\beta}$$ を入れ替えても同じ式になる。

$$
{\begin{align*}
\alpha^2+\beta^2=\beta^2+\alpha^2　\Leftarrow 同じ式
\end{align*}}
$$

でも $${\alpha^2-\beta^2}$$ は対称式にならないよ。$${\alpha}$$ と $${\beta}$$ を入れ替えたら違う式だから。

$$
{\begin{align*}
\alpha^2-\beta^2=\beta^2-\alpha^2　\Leftarrow 違う式
\end{align*}}
$$

それでは森田君。対称式として他にどんなものがあるかな？」
「$${(\alpha+\beta)^2}$$ や $${(\alpha+\beta)^3}$$。 あと$${\alpha^3+\beta^3}$$ や$${\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\beta}}$$ も対称式になります。 $${(\alpha-\beta)^2}$$ も対称式でしょうか？」
「$${(\alpha-\beta)^2}$$ は対称式だね。$${\alpha}$$ と $${\beta}$$ を入れ替えても、２乗するので符号はどちらも同じになる。２乗しない$${\alpha-\beta}$$ は対称式ではないけど、２乗すれば対称式になるんだね」

$$
{\begin{align*}
(\alpha-\beta)^2&=(\beta-\alpha)^2 &\Leftarrow 同じ式\\
\alpha-\beta& \ne \beta-\alpha &\Leftarrow 違う式
\end{align*}}
$$

「ところでこの $${\alpha+\beta}$$ と $${\alpha\beta}$$ は、最も基本的な対称式ということで『基本対称式』というんだ。そこでこの基本対称式について次のような定理がある。

＜対称式の基本定理＞
　全ての対称式は『基本対称式』の加減乗除で表すことができる。

加減乗除とは『足し算、引き算、掛け算、割り算』、つまり四則演算のこと。つまり、$${\alpha^2+\beta^2}$$ のようなすべての対称式は、基本対称式 $${\alpha+\beta,  \alpha\beta}$$ の『足し算、引き算、掛け算、割り算』で表すことができる、というわけだね。そこで次の問題をやってみようか」
　竹村は用意してきた問題をホワイトボードに書き綴る。

問題　２次方程式 $${ax^2+bx+c=0}$$ の２つの解を $${\alpha, \beta}$$ とする。このとき、次の対象式を係数 $${a,b,c}$$ を用いて表しなさい。
(1)　$${\alpha^2+\beta^2}$$
(2)　$${(\alpha-\beta)^2}$$

「まずは先生が解いてみようか。さっきやった『解と係数の関係』より

$$
{\begin{align*}
\alpha+\beta&=-\dfrac{b}{a}\\
\alpha\beta&=\dfrac{c}{a}
\end{align*}}
$$

すると先ほどの『対称式の基本定理』。”全ての対象式は『基本対称式』の加減乗除で表すことができる”ので、それぞれを式を基本対称式  $${\alpha+\beta,\alpha\beta}$$ で表すことができれば、それに『解と係数の関係』を代入して係数 $${a,b,c,d}$$ で表すことができるんだね。では具体的にやってみよう。ますは (1) から」
　竹村は軽快に数式を書き始めた。
「因数分解公式 $${a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}$$ より  $${\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2}$$ は次ように因数分解できる。

$$
{\begin{align*}
\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2=(\alpha+\beta)^2
\end{align*}}
$$

$${-2\alpha\beta}$$ を移行して

$$
{\begin{align*}
\alpha^2+\beta^2＝(\underline{\alpha+\beta})^2-2\underline{\alpha\beta}
\end{align*}}
$$

すると下線部が基本対称式となるので、これに先ほどの解と係数の関係

$$
{\begin{align*}
\alpha+\beta&=-\dfrac{b}{a}\\
\alpha\beta&=\dfrac{c}{a}
\end{align*}}
$$

を代入すれば

$$
{\begin{align*}
\alpha^2+\beta^2 &＝(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\\
&=\left(-\dfrac{b}{a}\right)^2-2\cdot\dfrac{c}{a}\\
&=\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2c}{a}\\
&=\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2ac}{a^2}\\
&=\dfrac{b^2-2ac}{a^2}　（答）
\end{align*}}
$$

これで対称式 $${\alpha^2+\beta^2}$$ を、２次方程式の係数 $${a,b,c,d}$$ で表すことが出来たね。具体的に解 $${\alpha,\beta}$$ が分からなくても、その解で得られる対称式は係数で求めることが出来るというのが便利なところ。それでは森田君、(2)は解いてみようか」
　と竹村が振り返ると、森田君はホワイトボードの前にいた。
「(2) は展開公式 $${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$$ について $${a=\alpha}$$， $${b=\beta}$$ として

$$
{\begin{align*}
(\alpha-\beta)^2 &=\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2\\
&=\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta
\end{align*}}
$$

すると (1) で求めた $${\alpha^2+\beta^2=\dfrac{b^2-2ac}{a^2}}$$ と、解と係数の関係 $${\alpha\beta=\dfrac{c}{a}}$$ を代入して

$$
{\begin{align*}
(\alpha-\beta)^2 &=\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta\\
&=\dfrac{b^2-2ac}{a^2}-2\cdot\dfrac{c}{a}\\
&=\dfrac{b^2-2ac}{a^2}-\dfrac{2c}{a}\\
&=\dfrac{b^2-2ac}{a^2}-\dfrac{2ac}{a^2}\\
&=\dfrac{b^2-2ac-2ac}{a^2}\\
&=\dfrac{b^2-4ac}{a^2}　（答）
\end{align*}}
$$

となり求まりました」
「森田君よくできました。(1) で求めた結果を利用するのがポイントだね。既に得られた値は当然成り立っているので利用すればいい。さて、今は２変数の対称式だったけど、３変数の対称式もあるよ」
「３次方程式の解の公式に出てきた左辺の式です」
なかなかの鋭い見極めに竹村は驚く。
「そうそう、３変数の場合、基本対称式は３次方程式の解と係数の関係で現れた左辺の式なんだ。４変数の基本対称式も同じ。ではまとめておこう」

（まとめ）
＜２変数の基本対称式＞
　　　$${\alpha+\beta}$$
　　　$${\alpha\beta}$$
＜３変数の基本対称式＞
　　　$${\alpha+\beta+\gamma}$$
　　　$${\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}$$
　　　$${\alpha\beta\gamma}$$
＜４変数の基本対称式＞
　　　$${\alpha+\beta+\gamma+\delta}$$
　　　$${\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}$$
　　　$${\alpha\beta\gamma+\alpha\beta\delta+\alpha\gamma\delta+\beta\gamma\delta}$$
　　　$${\alpha\beta\gamma\delta}$$
＜５変数以上の基本対称式＞も、同様に構成していけばよい。

「よって、３変数以上の対称式についても『対称式の基本定理』が成り立ち、すべて基本対称式の加減乗除で表すことができるんだね。例えば  $${\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}$$ は３変数の対称式。$${\alpha,\beta,\gamma}$$ をどのように入れ替えても同じ式になるね。足した順番を入れ替えても同じ値だから。よしじゃあ１つ問題をやってみようか」
　竹村は急きょ問題を作った。

問題　３次方程式 $${ax^3+bx^2+cx+d=0}$$ の解を $${\alpha,\beta,\gamma}$$ とする。このとき、対象式 $${\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}$$ を係数 $${a,b,c,d}$$ を用いて表しなさい。なお、すべての文字を使うとは限らない。

 　森田君はすぐさまペンを動かす。
「以下の展開式を用います。

$$
{\begin{align*}
(\alpha+\beta+\gamma)^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2\alpha\beta+2\beta\gamma+2\gamma\alpha
\end{align*}}
$$

「えっどこで習ったの？」
「$${(\alpha+\beta+\gamma)^2=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha+\beta+\gamma)}$$ として、分配法則で展開して整理すればこのようになります。まずは左右入れ替えて

$$
{\begin{align*}
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2\alpha\beta+2\beta\gamma+2\gamma\alpha=(\alpha+\beta+\gamma)^2
\end{align*}}
$$

$${2\alpha\beta+2\beta\gamma+2\gamma\alpha}$$ を移行して

$$
{\begin{align*}
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2&=(\alpha+\beta+\gamma)^2-(2\alpha\beta+2\beta\gamma+2\gamma\alpha)\\
&=(\underline{\alpha+\beta+\gamma})^2-2(\underline{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha})
\end{align*}}
$$

すると下線部が基本対称式になるので、これに３次方程式の解の公式

$$
{\begin{align*}
\alpha+\beta+\gamma&=-\dfrac{b}{a}\\　
\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha&=\dfrac{c}{a}\\
\alpha\beta\gamma&=-\dfrac{d}{a}
\end{align*}}
$$

の上位２式を代入して

$$
{\begin{align*}
\alpha^2+\beta^2+\gamma^2&=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\\
&=\left(-\dfrac{b}{a}\right)^2-2\cdot\dfrac{c}{a}\\
&=\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2c}{a}\\
&=\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2ac}{a^2}\\
&=\dfrac{b^2-2ac}{a^2}　（答）
\end{align*}}
$$

「先生解けました」
「正解！よくできました。３変数の２乗の展開式

$$
{\begin{align*}
(\alpha+\beta+\gamma)^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2\alpha\beta+2\beta\gamma+2\gamma\alpha
\end{align*}}
$$

をその場で考えて書き出したのは凄いね。高校１年で習う公式だよ」
「証明は普通に展開すれば出来ますが、$${(\alpha+\beta)^2}$$ を展開すると

$$
{\begin{align*}
(\alpha+\beta)^2&=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2\\
&=\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta
\end{align*}}
$$

となるので $${\gamma}$$ が１つ増えた分、下線部

$$
{\begin{align*}
(\alpha+\beta+\gamma)^2=\alpha^2+\beta^2+\underline{\gamma^2}+2\alpha\beta+\underline{2\beta\gamma}+\underline{2\gamma\alpha}
\end{align*}}
$$

の項が増えるという自然な見方も出来ます」
「なるほど」竹村は妙に納得した。
「では今日はここまで。次の授業では、解の公式をこの対称式の立場で眺めてみようと思う。そうすると解の公式がより深く見えてくるよ。目指すは５次方程式の解の公式がなぜ存在しないのかだね」
「お願いします！」
　今日の授業は終わった。
「$${\gamma}$$ の項が増えるわけか・・・」
　予定通り授業が終わり、竹村は今日は紀伊国屋書店ではなく、馴染みの小料理店へと向かった。

（了）

（コメント）
気が付いたら随時修正しています。一人で書いているとどこが分かりにくいのか分からないので、分かりにくい所があれコメント下さい。
（追記）
スマホで見た場合、一部の数式表記が変な所で改行されるので、良い方法がないか修正中。