【12月27日はケプラーの誕生日】無重力からビリヤードまでアヤ先生💕の科学史
1571年の今日12月27日、「ケプラーの法則」で知られるドイツの天文学者、ヨハネス・ケプラー（1571～1630）が誕生しています。
（ケプラーの肖像）
…と言っても、ケプラーって誰やねん、という方が多いかもしれません💦ケプラーは高校で物理か地学をガッツリ履修しないと出てきません。
でも、ニュートンなら誰でもご存じですよね。今日は、ケプラーとニュートンについて語ってみたいと思いますので、この機会にぜひ覚えてください。
☆万有引力の法則
アイザック・ニュートン（1642～1727）は、「すべての物体は互いに引き合う」という万有引力の法則を発見しました。リンゴが落ちるのも月が地球の周りを回るのも、すべては地球の万有引力のせいだ、と見抜いたのです。
あなたが好きな人と一緒にいるとき、あなたも好きな人を引っぱっているし、好きな人もまたあなたのことを引っぱっているのです。お互いに引かれあっている…ロマンチックですね💕まあ、惹かれあっているかは保証しませんけどね😝
さて、万有引力の大きさは次の式で表現できます。
これを見ると、万有引力Fの大きさは２つの物体の質量Mとｍの積に比例し、２つの物体間の距離rの２乗に反比例することがわかります。
質量が大きいほうが、大きな力で引かれあいますよ。ダイエットに失敗しても好きな人との万有引力が大きくなったと思えば慰められますね💦そして、できるだけ距離を近くすることです。
…ここまで読んで、「私は彼氏から引っ張られていると感じたことなんかない」と思った方も多いでしょう。その通り！万有引力定数Gはとーっても小さい値なので、私たちが隣の人に引っ張られていると感じることはありません😝ごめんなさい。万有引力が問題となるのは、２つの物体のうち少なくとも１つが天体であるときですね。天体の持つ巨大な質量があって、初めて万有引力を感じることができます。
リンゴが落ちるのは、地球の中心とリンゴとの間に万有引力がはたらくからですね🍎このときの力は「重力」ともいいます。私たちは「物体の落下」として認識しますが、これは「地球がリンゴを引っ張っている」というのが本質です。
高校で物理をやった方は、F＝maという運動方程式というのを習ったと思います。月や火星などに探査機を送り込めるのは、「万有引力の法則」と「運動方程式」のおかげなのです！⭐この２つを組み合わせて軌道やら何やらを計算するのです。
☆無重力になる理由
ところで、
🌸国際宇宙ステーション（ISS）の中では物が浮いていました（いわゆる「無重力状態」）。それはどうしてですか？
（2010年に宇宙に行った山崎直子さん）
「宇宙に出れば重力がなくなる」と思っていませんか？それは誤りです！😝
先ほどの万有引力の式を見てください。
地球から離れればrが大きくなって万有引力Fは小さくはなります。でも０にはなりませんよね。
「地球から遠く離れたから万有引力を無視できる（限りなく０に近くなる）」？…これもペケです😝
国際宇宙ステーションって、地球からほとんど離れていないのですよ。地上からの高度は400㎞くらいです。そんなに近いって意外だったでしょう。地球にべたっと張りついているくらいのイメージです。
ちなみに、国際航空連盟(Federation Aeronautique Internationale: FAI)という組織が、高度100kmから上を宇宙と定義しています。…100㎞って、東京から宇都宮くらいですよ💦宇宙って実は意外と近くにあったのです。
…閑話休題。国際宇宙ステーションの内部が「無重力状態」になる理由。正解は、
🍎ステーション内にいる人や物には遠心力がはたらいているので、遠心力と万有引力がつりあって合力が０となっているから
でした！
国際宇宙ステーションは衛星みたいに地球の周りを回っているんですね。だから「無重力状態」になるのです。知らなかったでしょう！😝万有引力は地球の向き、遠心力は円運動の中心から外向きにはたらきますから、ちょうど逆向きになってつりあっているのでした。
☆惑星の軌道
ここまで、基本的には地球のお話しでした。ここからいよいよ地球を離れて太陽系全体のお話しです。ようやくケプラーの出番です💦
ケプラーの法則は３つありますが、まず第１法則から。
実は、惑星は「楕円軌道」だったのです。円軌道ではないのです。
といっても、現在の地球の離心率は0.0167ですから、「円です」と言われたら「そうですか」と信じてしまうくらい、ほぼ円ですけどね💦離心率が比較的大きな惑星として水星が知られていますが、それでも離心率は0.2056。
離心率は０だと完全な円で、ちょうど１だと放物線、その間、0 < 離心率 < 1だと楕円です。１に近いほど見ただけで楕円とわかるような形になります。（ちなみに１を超えると双曲線です）
上の図のe=0.2のものが水星の軌道に近いのですが、まあこれもほぼ円みたいに見えますよね💦
☆楕円とは
では問題。
🌸「円」は、「ある点（円の中心）からの距離が等しい点の集合」と定義できます。では、「楕円」の定義は？
円をぐちゅっと潰したもの、と答えたくなるかもしれませんね😝
正解は、
🍎ある2定点からの距離の和が一定となるような点の集合
です。こちらをご覧いただくとよくわかります。楕円の描き方です。2つの点をまず決めて、２点間の距離よりも長い1本の糸の両端をそれぞれ固定し、糸がピンと張った状態を保って頂点に取りつけた筆記具を動かしていけば楕円になります。ぜひやってみてください。
ちなみに中国語で楕円の「楕」は「木の切り株」の意味で、「木の切り口」の形に似ているところから「楕円」と名づけられたと考えられています。
さて、楕円を書くときに糸を固定した２つの定点のことを「焦点」といいます。楕円には２つの焦点が存在します。
ケプラーは、惑星が楕円軌道であるというだけでなく、その焦点の一つとなる位置に太陽が存在していることまで発見しました。すごいですね！
☆ビリヤードはお得意？
では問題。
🌸どんなにビリヤードが下手な人でも、必ずボールをポケット（穴）に落とすことができるビリヤード台を作ってください。
…難問ですよね💦正解はこちら。
わかりますか？
楕円形のビリヤード台を作ります。２つの焦点のうち１つをポケットにして、もう一つの焦点の位置にボールを置きます。そうすれば、どの角度にボールを飛ばしても必ずポケットに入れることができるのです。
「一方の点から外周に向かう角度と、そこからもう一つの点に向かう時の角度は常に等しい」という楕円の性質を利用しています。
このビリヤード台は数学者が作ったもので、小さなものは家庭用に販売もされています。かつては国立科学博物館にも展示されていました。機会があったらぜひやってみてください。
私がかつて数学検定の準１級を受けたときに、まさにこれを題材にした、「楕円形のビリヤード台で必ずボールがポケットに入ることを証明せよ」というような問題が出ました。なかなかユニークですが難しい問題でした💦数学に自信のある方はぜひ証明してみてください！
ちなみに「焦点」という言葉は、光が必ず焦点に集まって焦げるというイメージから来ています。必ず焦点を通るのはビリヤードの球だけではありませんからね。
☆ケプラーとニュートン
だいぶ長くなってしまっていますのでケプラーの第２法則と第３法則はサラッと紹介するに留めます。
✅第2法則（面積速度一定の法則）
惑星と太陽とを結ぶ線分が単位時間に描く面積（面積速度）は、一定である。
…ざっくりいうと、太陽に近いところでは速く、遠いところではゆっくり動くということです。
✅第3法則（調和の法則）
惑星の公転周期の2乗は、軌道長半径の3乗に比例する。
ケプラーはティコ・ブラーエ（1546～1601）という人の残した観測記録から３つの法則を発見したのですが、発見には20年近い歳月が費やされました。にもかかわらず、当時はまるで評価されなかったのです。
ケプラーの法則の重要性に気づいたのがニュートンでした。ニュートンは、自分が発見した運動の法則と、このケプラーの法則などを元にして万有引力の法則を導き出します。そして万有引力の法則と運動の法則を用いればケプラーの法則を導けることを示しました。
…なかなか難しいのですが、ケプラーが実際の観測結果から３つの法則が成り立つはずだと定式化したものに、ニュートンが物理・数学的な根拠を与えたというようなイメージでしょうか。また、元々はケプラーは太陽系の惑星についての話をしていたのですが、ニュートンによってそれが一般化されて、ケプラーの法則は太陽系に限らず成立することも示されました。ですから、地球の周りを回る人工衛星に対してや木星の周りを回る衛星に対してはもちろん、もっと遠くの惑星系などであってもケプラーの法則は成り立つのです。
☆ハレー彗星
ケプラーの法則に関連してエピソードを一つ。ニュートンが40歳のとき（1682年）、後に「ハレー彗星」と呼ばれることになる巨大な彗星が現れました。
（1986年3月8日に撮影されたハレー彗星）
エドモンド・ハレー（1656～1742）はニュートンと運動の法則について話し合う機会があり、ニュートン力学を用いて、それが楕円軌道をしていること、76年後に再び戻ってくるであろうことを予言します。
そして76年後、1758年のクリスマスの日に、予言のとおりにハレー彗星は再びその姿を見せたのです🎄その功績を称えて、ハレーを表彰して彗星には彼の名前がつけられました。残念ながらニュートンもハレーも、その前に亡くなってしまっていましたが…😭
現在知られている事実を説明できるのはもちろん、まだ知られていないことも予言できる、それが科学のすばらしさだと思います。科学者に敬意を持てる人に政権を担ってほしいですよね😝
ちなみに、次のハレー彗星は2061年夏です。長生きしましょう！
☆コペルニクスの地動説がより確かなものに！
長らく天動説が信じられていた世の中で、初めて地動説を主張したのは
ニコラウス・コペルニクスでした（1543年）。「コペルニクス的転回」という言葉が生まれるくらい、それはとても画期的なことでしたが、しかし地動説の立場からも、惑星の運動をシンプルに説明するのはなかなか困難でした。
天動説に対する地動説の優位を決定的なものにしたのが、実は今日ご紹介したケプラーの法則なのです。ケプラーの法則（やニュートン力学）の登場により、地動説モデルは天動説モデルよりも、はるかに正確に惑星の運動を記述することが可能になったのです。そしてそれが、今日の宇宙開発にも繋がっているのです。
…いかがですか？ケプラーを覚えてくれる気になりましたか？
☆まとめ
🍎万有引力Fの大きさは２つの物体の質量Mとｍの積に比例し、２つの物体間の距離rの２乗に反比例する
🍎国際宇宙ステーション内が「無重力状態」になるのは、中にいる人や物には遠心力がはたらいているので、遠心力と万有引力がつりあって合力が０となっているから
🍎惑星は、太陽を焦点の一つとする楕円軌道をしている
🍎楕円を利用すれば、ボールを必ずポケットに落とせるビリヤード台を作ることができる
🍎ケプラーが実際の観測結果から３つの法則が成り立つはずだと定式化したものに、ニュートンが物理・数学的な根拠を与えた
🍎ハレーはニュートン力学を駆使して、彗星が76年後に再び戻ってくることを予言し、実際にそのとおりになった
🍎ケプラーの法則（やニュートン力学）の登場により、地動説モデルは天動説モデルよりも、はるかに正確に惑星の運動を記述することが可能になり、そのことが今日の宇宙開発にも繋がっている
今日はケプラーの誕生日に因んで、科学史のお話しをしました。私のnoteらしく、いつものように話があっちゃこっちゃいっています💦アヤ先生による『徒然草』だとお考えください😝またねー💕
🍎参考文献
浜島先生の物理の本は受験生にもおススメです。他にも河合出版からいくつか出ています。
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