中学校の数学をおさらいする

相変わらず、中学生向けの数学ドリルをやっている。薄いドリルに半年以上、中断も挟んで取り組んでいる。私は答え合わせの作業が子供の頃から非常に面倒で、それが自分でわずかでもできるだけ進歩している、とでも思いながらやる他はない。

中学数学の科目の中でも幾何は独特である。三角形の合同を証明するときの条件は今でも決まり文句として憶えている。なぜならば、何度もやらされたからである。一方、平行四辺形の条件や操作となるともうあやふやだ。例えば「三組の辺の長さがそれぞれ等しい」「二組の辺の長さとその間の角がそれぞれ等しい」「一組の辺の長さとその両端の角がそれぞれ等しい」というのが2つの三角形が合同である条件であるが、この「それぞれ」を手書きするのが毎回煩わしかったりする。

一方、平行四辺形に関しては錯角（さっかく） alternate angle と対頂角（たいちょうかく）vertical angle との区別とが曖昧だった。(1)錯角が等しいとは、例えばZ字のように2本の平行線を1本の直線が斜めに横断しているとき、上の平行線と横断する直線とがなす角度と下の平行線と横断する直線がなす角度は、鋭角同士、広角同士で同じになるというものである。一方、(2)対頂角はもっと簡単だ。X字のように直線同士が交差するとき、交点を境に向かい合う二組の角度はそれぞれ等しいというものである。

そして、反対に、平行線でなかったとしても、2本の並んだ線に1本の直線が突き抜けている状態で2本線に対する錯角が等しければその2本線は平行であることが示されるというものである。例えば、直線AB∥CD(＝直線ABと直線CDは平行である＝2つの直線はいくら延長しても交わらない）を示したければ、ABとCDの両方に交差する直線EFについてその錯角が等しいことを証明すれば十分である。

また、平行四辺形だけでなく、もちろん直角三角形、長方形、台形、正方形についてもそれぞれ定義がありそれを満たしているかどうかによってその存在を証明できる。しかし、それらの必要条件の区別や段階もやはり既に忘れてしまっていて、思い出したり、補助線をやみくもに引いてみたりしながら問題を解いているというのが実情である。

高校数学を学んだときは、答え合わせ、特に証明問題の回答の導出プロセスをどのように書いていけばいいのか、書けたとしてもそれをきちんと答え合わせするだけのガマンができるか、余裕を持って継続できるのかが問題であった。

その萌芽は当然、中学数学の図形の証明記述問題にもある。図形の証明問題の回答も単なる計算問題と違って、単純に数字が同じなら正解！というわけでもない。なぜならば、高校数学ほど自由度は高くないけれども一種の文章を構成しなければならないからである。たいていは自分の回答は回答例とは微妙にズレた表記になっているけれども、それが数学的に飛躍していないかどうか、自分の回答が迂回していたとしても同じ結果を適切に導けているかどうかを自分で考えて◯か✗を決める必要がある。

中学数学では今のところ少しずつでもそれができているようだから、高校でおこなう簡単な記述問題にまでどうにか延長した上で、数学検定を少しずつ取っていくのが現実的な自分の数学的能力（の維持）の証明につながっていけるのではないか、と願望している。

(1,367字、2024.05.26)

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