理系大学生なら在学中に"ルベーグ積分(測度論)"を聴講することをお勧めします。4月なら間に合う。卒業してからの独学では難しい、講義で学んでおきたい大学数学
未学習のままに大学を卒業して、困っている人が多いです。
ルベーグ積分については、本気で、120%断言できます。
数学科でない、あなたは、講義を聴講できるよう、数学科の担当教員の研究室のドアを叩きましょう。
もともと、学部のカリキュラムには、卒業を目的として組まれています。
"大学院への進学"、"社会人(専門職)になってから学ぶ"ときに、必要となる(知りたくなる)科目は入っていません。
ルベーグ積分(測度論)は挫折必至。
数学科の学生でも多くの学生が挫折します。
数学が得意な学生であっても、講義を受けているのにもかかわらず、挫折する。独学だと挫折すること間違いなし。
聴講なので理解の深度を度外視し、聴くだけの気楽さで受講できます。
※ 担当教員によっては、講義中に課題を解かせたりして、理解を求められる可能性はあります。
ルベーグ積分(測度論)をやっていないと困ること。
確率論の応用分野である、確率過程、確率微分方程式はルベーグ積分の言葉で書かれる。
確率過程は、近年ホットな分野で使われます。
統計学: 確率過程は、統計学の基礎的な概念であり、統計モデリングに必要な知識です。例えば、時間変動する現象のモデリング(時系列解析)に使われます。
金融工学: 確率過程は、金融市場における価格変動をモデル化するために使われます。株価のモデリングやオプション価格の評価に使用されることがあります。
電気工学: 確率過程は、信号処理、通信、制御システムなどの分野で使われます。例えば、ノイズを含む信号の解析に使われます。
コンピュータサイエンス: 確率過程は、ランダムプロセスの解析や確率的アルゴリズムの設計に使われます。例えば、モンテカルロ法による数値計算に使われます。
信号処理、通信、制御システムやコンピュータサイエンスへの応用のため、「情報理論」を学部のうちに学んでおくのもいいでしょう。
量子力学の数理的基礎はルベーグ積分の言葉で書かれる。
情報熱力学、非平衡統計力学では確率過程、確率微分方程式が使われます。
確率過程は、21世紀の科学に影響を与える数学的手法だけれど、多くの学者が確率過程の表記法であるルベーグ積分で頓挫してしまう。
測度論が使えなくて困り果てている、研究者(数学科以外)はじつに多いです。学者でなくても、統計解析の発展的内容の基礎に確率過程は密接に関係してきます。やりたい学び・研究がなされないまま、流れてしまいます。
ルベーグ積分は、難しい積分ができなくても、学べます。
$$
\int\frac{\operatorname{e}^{2x}}{\sqrt[4]{\operatorname{e}^{x}+1}}dx
$$
ルベーグ積分(測度論)は、このような積分をどのように計算するか、ではありません。
ルベーグ積分とは、積分概念を集合論的な差し替え、と言えます。
高校で積分を
$$
S_{\Delta} = \sum_{k=1}^{n}f(t_{k})(x_{k}-x_{k-1}), (x_{k-1}\leqq t_{k} \leqq x_{k})
$$
のような式(リーマン和)を使って、定義しました。これをリーマン積分と呼びます。
※ 上積分、下積分を定義してそれぞれの極限で挟み込みですけど、割愛します。
ルベーグ積分は積分自体を集合を使って定義し直します。
参考として、こちらをみてみてください。
ChatGTPさんに聞いても、理解できるような回答をもらえません。
AIに頼ったところで、解決できません。
数学の理解には、AIがしているような文字を並べ替えるだけでは到達できない、人間的な読解力が必要です。
ルベーグ積分はこれの好例。AIがわかるのはルールだけ。
気になったら、つぎの本を眺めてみてください。
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