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令和6年度 東京大学大学院数理科学研究科 専門科目B 第13問
令和6年度東大数理専門科目B 第13問の解答を載せます．おそらく18問の中でこれが一番簡単でしょう． 専門科目B問題はこちら https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/kyoumu/b_final…
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平成26年度東京大学大学院数理科学研究科専門科目B(リー環の表現論の問題)
ここ数ヶ月間は佐武一郎先生の「リー環の話」でリー環の勉強をし直しています。
そんな中、先日東京大学大学院数理科学研究科の平成26年度入試の専門科目Bの第17問のリー環の表現の問題が解けたので解答を載せたいと思います。
リー環の表現として最初に出てくるのはsl_2の表現だと思いますが(一番やさしいがとても重要だからでしょう)この問題もsl_2の表現が題材です。
積分サークルショート動画の定積分の計算
積分サークルのショート動画に出てきた定積分を計算してみました．
[問題] $${\displaystyle\int_{-1}^2 \sqrt{\sqrt{2-x}(x+1)} dx}$$
[解] 求める値を $${I}$$ とおく．
$${\displaystyle I=\int_{-1}^2 (2-x)^{1/4}(x+1)^{1/2} dx}$$ において $${t=x+1}$$ と変
令和6年度 東京大学大学院数理科学研究科 専門科目B 第13問
令和6年度東大数理専門科目B 第13問の解答を載せます．おそらく18問の中でこれが一番簡単でしょう．
専門科目B問題はこちら
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/kyoumu/b_final_2023_HP.pdf
令和6年度東京大学大学院数理科学研究科 専門科目Aの積分の問題
東京大学大学院数理科学研究の令和6年度修士課程の院試問題から専門科目Aの積分の問題(第4問と第6問)が解けたので解答を載せておきます。
専門科目A問題はこちら
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/kyoumu/a_final_2023_HP.pdf
第6問の積分は微分積分の範囲でも複素解析を使っても解けるので，両方の方法を載せておきます。
正井先生からの挑戦状！
本日開催された東京工業大学×すうがくぶんか「現代数学レクチャーシリーズ2024 微分方程式祭り」。実は先月正井先生からの挑戦状がすうがくぶんかの公式X(旧Twitter)に投稿されており解答を提出していました。
後日すうがくぶんかからリプライがあり、どうやら一番乗りだったそうです。
というわけで私が作成した解答を公開致します。(別解がその後思いついたので再提出しました。)
前層の層化の2つの定義の同等性
最近廣惠先生の「重点解説 微分方程式とモジュライ空間」を読んであるのですが、層化の定義が寺杣先生の「リーマン面の理論」の定義と異なっていたのでそれらが同等であることを確かめてみました。
2020年度東京大学大学院数理科学研究科 修士課程 専門科目A 解答例
2020年度東京大学大学院数理科学研究科 修士課程 専門科目A の解答例を書きました。
第1問(線形代数)ある3次複素上三角行列が対角化可能であるための必要十分条件
各固有値の重複度と対応する固有空間の次元が等しいことに気づけば容易である．
第2問(微分積分)平面上のパラメータつきの領域上での重積分の計算と極限の計算
どちらも計算は容易である．
第3問(微分積分)ふたつの関数の大小関係
√-1の5進展開を途中まで計算してみた
$${i=\sqrt{-1}}$$の5進展開を計算してみました．
計算方法を説明する前に、まず $${p}$$ 進整数について簡単に述べておきます．
$${p}$$ を整数とするとき，次の形で表される数を $${p}$$ 進整数と呼びます．
$${a_0+a_1p+a_2p^2+a_3p^3+\cdots +a_np^n+\cdots}$$
ここで$${a_n (n=0,1,2,\dot
2019年東大第1問の定積分の計算
2019年の東大数学(理系第1問)の定積分を少し変わった方法で計算してみたいと思います．
$${\displaystyle\int_0^1 \biggl(x^2+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\biggr)\biggl(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}(x^2+1)}\biggr) dx}$$
求める積分値を$${I}$$とおく．
$${\displaystyle
円周率の近似計算に使われた定積分
先日X(旧Twitter)で円周率 $${\pi}$$の近似計算に使われた定積分のポストを見かけたので早速計算してみました。
$${\displaystyle\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} dx}$$ において$${x=\tan\theta\quad(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4})}$$ と変数変換すると
$${\displayst
発散級数の和をどのように捉えるか
先日放送されたNHK「笑わない数学」のテーマは$${1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12}}$$でした。
勿論普通の級数の定義では無限大に発散するのでこの等式は意味をもちませんが、適当に解釈することでこの等式に意味をもたせることができるのです。
それを考える前にいくつか簡単な例を考えることにしましょう。
例1．関数$${\displaystyle f(z)=\frac{\s
ある2次体のイデアルについて
先日高木貞治「代数的整数論」(第2版)をメルカリで購入したので、少しずつ読んでいます。その中から第2章問題3を取り上げたいと思います。(現代表記に変えてあります。)
[問題] 2次体 $${\mathbf{Q}(\sqrt{-5})}$$ において $${(3+\sqrt{-5},1-7\sqrt{-5})=[2,1+\sqrt{-5}]}$$ を示し，それは単項イデアルではないことを示せ．
MITの積分問題解いてみた
昨日YouTubeでプレミアム公開された積分サークルの動画で出題された積分の問題を解いてみました。
＊3ページの「求める極限値は」の部分は「求める積分値は」の誤植です。
有限環上の2次一般線型群と特殊線型群の位数計算してみた
有限環 $${\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}}$$ 上の2次一般線型群 $${GL(2, \mathbb{Z}/N\mathbb{Z})}$$ 及び 特殊線型群 $${SL(2, \mathbb{Z}/N\mathbb{Z})}$$ の位数を計算してみました。
$${N=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r} }$$ を $${N}$$ の素因数分解とすると，中国剰余定