積分サークルショート動画の定積分の計算

積分サークルのショート動画に出てきた定積分を計算してみました．

[問題] $${\displaystyle\int_{-1}^2 \sqrt{\sqrt{2-x}(x+1)} dx}$$

[解]  求める値を $${I}$$ とおく．

$${\displaystyle I=\int_{-1}^2 (2-x)^{1/4}(x+1)^{1/2} dx}$$ において　$${t=x+1}$$ と変数変換すると

$${\displaystyle I=\int_0^3 (3-t)^{1/4}t^{1/2} dt}$$

さらにここで　$${s=t/3}$$ と変数変換すると

$${\displaystyle I=3^{7/4}\int_0^1 (1-s)^{1/4}s^{1/2} ds}$$

ここでBeta関数とGamma関数の関係式

$${\displaystyle B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}}$$ を用いると　($${p=\frac{5}{4},q=\frac{3}{2}}$$ として)

$${\displaystyle I=3^{7/4}B\biggl(\frac{5}{4},\frac{3}{2}\biggr)=3^{7/4}\frac{\Gamma(\frac{5}{4})\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(\frac{11}{4})}}$$

これがキムさんの解答であるが、更にGamma関数の公式を用いて若干簡単にすることも可能．

次の3つの事実を用いる．

(1) $${\Gamma(p+1)=p\Gamma(p)}$$

これは部分積分で簡単に証明できる．

(2) $${\displaystyle\Gamma(p)\Gamma(1-p)=\frac{\pi}{\sin(\pi p)}}$$  

[注意] Gamma関数，Beta関数の定義は

$${\displaystyle \Gamma(p)=\int_0^{\infty}t^{p-1}e^{-t} dt，B(p,q)=\int_0^1 (1-t)^{p-1}t^{q-1} dt}$$

で共に $${p,q>0}$$ において収束します．よって　(1)はp>0で，(2)は 0<p<1で成立します．

(2) で　$${p=1/2}$$ とすると次の特殊値が得られる．

(3) $${\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}}$$

すると　(1)(3)より　$${\Gamma(\frac{3}{2})=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}}{2}}$$，$${\Gamma(\frac{5}{4})=\frac{1}{4}\Gamma(\frac{1}{4})}$$

$${\Gamma(\frac{11}{4})=\frac{7}{4}\Gamma(\frac{7}{4})=\frac{21}{16}\Gamma(\frac{3}{4})}$$

さらに　(2) において $${p=\frac{1}{4}}$$ とすることで　$${\displaystyle\Gamma\biggl(\frac{3}{4}\biggr)=\frac{\sqrt{2}\pi}{\Gamma(\frac{1}{4})}}$$ となるので

$${\displaystyle I=\frac{3^{3/4}}{7}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\Gamma\biggl(\frac{1}{4}\biggr)^2}$$ を得る．