有限環上の2次一般線型群と特殊線型群の位数計算してみた

有限環 $${\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}}$$ 上の2次一般線型群 $${GL(2, \mathbb{Z}/N\mathbb{Z})}$$ 及び 特殊線型群 $${SL(2, \mathbb{Z}/N\mathbb{Z})}$$ の位数を計算してみました。

$${N=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r} }$$ を $${N}$$ の素因数分解とすると，中国剰余定理より環同型写像 $${\displaystyle\phi:\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}\widetilde{\rightarrow}\prod_{i=1}^r\mathbb{Z}/p_i^{e_i}\mathbb{Z}}$$ が存在する．$${\phi}$$ が誘導する自然な環準同型写像 $${\displaystyle\Phi:M(2,\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})\rightarrow \prod_{i=1}^rM(2,\mathbb{Z}/p_i^{e_i}\mathbb{Z})}$$ を考える．

$${\phi}$$ は群同型写像 $${\displaystyle\psi:(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{\times}\widetilde{\rightarrow}\prod_{i=1}^r(\mathbb{Z}/p_i^{e_i}\mathbb{Z})^{\times}}$$ を誘導することから

$${\Phi}$$ は単射群準同型写像 $${\displaystyle \Psi:GL(2,\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})\rightarrow\prod_{i=1}^rGL(2,\mathbb{Z}/p_i^{e_i}\mathbb{Z})}$$ を誘導する．

任意の $${\displaystyle(A_i)_{i=1}^r\in \prod_{i=1}^rGL(2,\mathbb{Z}/p_i^{e_i}\mathbb{Z})}$$ に対して，$${\displaystyle\Phi(A)=(A_i)_{i=1}^r}$$ なる $${\displaystyle A\in M(2,\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})}$$ をとる.

このとき $${\displaystyle\phi(\det A)=(\det A_i)_{i=1}^r\in \prod_{i=1}^r(\mathbb{Z}/p_i^{e_i}\mathbb{Z})^{\times}}$$ だから $${\det A\in (\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^{\times}}$$ となるので

$${ A\in GL(2,\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})}$$ で $${\Psi(A)=(A_i)_{i=1}^r}$$．つまり $${\Psi}$$ は同型写像である．

同様にして群同型 $${\displaystyle SL(2,\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})\cong\prod_{i=1}^rSL(2,\mathbb{Z}/p_i^{e_i}\mathbb{Z})}$$ を得る.

素数 $${p}$$ と正の整数  $${e}$$ に対して 全射群準同型写像 $${GL(2,\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z})\rightarrow GL(2,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})}$$ の核は

$${\left\{\begin{pmatrix}ap+1&bp\\cp&dp+1\end{pmatrix}|a,b,c,d\in\mathbb{Z}/p^{e-1}\mathbb{Z}\right\}}$$ だからその位数は $${ p^{4e-4}.}$$

$${GL(2,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})}$$ の位数は $${(p^2-1)(p^2-p)}$$ だから，$${GL(2,\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z})}$$ の位数は $${p^{4e-3}(p^2-1)(p-1). }$$

よって $${SL(2,\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z})}$$ の位数は $${p^{3e-2}(p^2-1)}$$ となるから

$${GL(2,\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})}$$ の位数は $${\displaystyle \prod_{i=1}^rp_i^{4e_i-4}(p_i^2-1)(p_i^2-p_i)= N^4\prod_{p|N}(1-p^{-2})(1-p^{-1})}$$.

$${SL(2,\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})}$$ の位数は $${\displaystyle\prod_{i=1}^rp_i^{3e_i-2}(p_i^2-1)=N^3\prod_{p|N}(1-p^{-2}). }$$

一般の次数の場合も同様の方法で出来ると思うので，ぜひチャレンジしてみてください.

参考文献

N.コブリッツ  楕円曲線と保型形式  p.150-151 演習問題 2.から6.