ある2次体のイデアルについて

先日高木貞治「代数的整数論」(第2版)をメルカリで購入したので、少しずつ読んでいます。その中から第2章問題3を取り上げたいと思います。(現代表記に変えてあります。)

[問題] 2次体 $${\mathbf{Q}(\sqrt{-5})}$$ において $${(3+\sqrt{-5},1-7\sqrt{-5})=[2,1+\sqrt{-5}]}$$ を示し，それは単項イデアルではないことを示せ．

注意  
左辺は$${3+\sqrt{-5},1-7\sqrt{-5}}$$ で生成される $${\mathbf{Q}(\sqrt{-5})}$$ の整数環 $${\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]}$$ のイデアル，右辺は $${\mathbf{Z}}$$ 上 $${2,1+\sqrt{-5}}$$ で生成されるイデアルです．(イデアルになることはあとで示します．)

(解答)

左辺，右辺をそれぞれ$${\mathfrak{a,b}}$$とおく．まず$${\mathfrak{b}}$$がイデアルになることを証明する．加法群になることは簡単なので，$${\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]}$$の作用で閉じていることを示せばよい．

そこで$${a,b\in\mathbf{Z}}$$として，$${2(a+b\sqrt{-5}),(1+\sqrt{-5}) (a+b\sqrt{-5})\in\mathfrak{b}}$$

を示す．実際

$${2(a+b\sqrt{-5})=2b(1+\sqrt{-5})+2(a-b)\in\mathfrak{b}}$$

$${(1+\sqrt{-5}) (a+b\sqrt{-5})=(a+b) (1+\sqrt{-5}) +2(-3b)\in\mathfrak{b}}$$

である．

次に$${\mathfrak{a}\subset\mathfrak{b}}$$を示す．実際

$${3+\sqrt{-5}=2+(1+\sqrt{-5}),1-7\sqrt{-5}=2・4+(-7)(1+\sqrt{-5})\in\mathfrak{b}}$$

であることと，$${\mathfrak{b}}$$がイデアルであることから出る．

次に$${\mathfrak{b}\subset\mathfrak{a}}$$を示す．

$${\mathbf{N}}$$を$${\mathbf{Q}(\sqrt{-5})/\mathbf{Q}}$$のノルムとして

$${\mathbf{N}(3+\sqrt{-5})= (3+\sqrt{-5}) (3-\sqrt{-5})=14}$$

$${\mathbf{N}(1-7\sqrt{-5})= (1-7\sqrt{-5}) (1+7\sqrt{-5})=246}$$

であることに注意する．

1次不定方程式$${14x+246y=2}$$の解として$${x=-35,y=2}$$がとれるので

$${2=(3+\sqrt{-5})(-35(3-\sqrt{-5}))+(1-7\sqrt{-5})(2(1+7\sqrt{-5}))\in\mathfrak{a}}$$

また$${(3+\sqrt{-5})(2\sqrt{-5})+(1-7\sqrt{-5})=-9-\sqrt{-5}}$$より

$${1+\sqrt{-5}=(3+\sqrt{-5})(-2\sqrt{-5})-(1-7\sqrt{-5})-2・4\in\mathfrak{a}}$$

となって主張がしたがう．

最後にこのイデアルが単項イデアルでないことを示す．

$${\mathfrak{a}=(\alpha)}$$なる$${\alpha\in \mathbf{Z}[\sqrt{-5}]}$$が存在すると仮定すると，

$${3+\sqrt{-5}=\alpha\beta,1-7\sqrt{-5}=\alpha\gamma}$$となる$${\beta,\gamma\in \mathbf{Z}[\sqrt{-5}]}$$が存在する．

両辺のノルムをとり$${\mathbf{N}(\alpha)\mathbf{N}(\beta)=14,\mathbf{N}(\alpha)\mathbf{N}(\gamma)=246}$$

24,246の最大公約数は2だから$${\mathbf{N}(\alpha)=1,2}$$であるが，(虚2次体のノルムは非負整数であることに注意)

$${\alpha=a+b\sqrt{-5}  (a,b\in\mathbf{Z})}$$とおくと$${\mathbf{N}(\alpha)=a^2+5b^2}$$より$${\mathbf{N}(\alpha)=1}$$となるので，

($${a^2+5b^2＝2}$$なる$${a,b\in\mathbf{Z}}$$は明らかに存在しない)

$${\alpha}$$は単数で$${\mathfrak{a}= \mathbf{Z}[\sqrt{-5}]}$$となる．

ところが$${\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]/\mathfrak{a}\cong\mathbf{Z}[X]/(X^2+5,3+X,1-7X)}$$であり

$${X^2+5=(X+3)(X-3)+14,1-7X=-7(X+3)+22}$$と$${(14,22)=2}$$

より右辺は$${\mathbf{Z}[X]/(2,X+3)\cong\mathbf{F}_2[X]/(X-1)\cong\mathbf{F}_2}$$と同型になるから

$${\mathfrak{a}}$$は極大イデアルとなり矛盾である．よって$${\mathfrak{a}}$$は単項イデアルではない．