【ぱわぽdeプレゼン】数学と化学をセッションしたら開聞岳の一部とサッポロポテトバーベＱあじができてもうた

前回のＮＯＴＥでは、数学の素数・合成数と化学の単原子分子・多原子分子が似ているので比べたら何か面白いことが起こるんちゃうか？っていうことで調べました。そしたら、自然数の中で素数の数が最少になるかもしれないねという予想が立ちました。今回は探索範囲を１０２４から一気に１０００万まで広げてみたので、ぼんやりとそのデータを眺めてみることにしましょう。それでは、行ってみましょうーLet's GO！

【データ収集】１～１０００万までカウントしてみた

探索範囲を１～１０（青色）、１～１００（水色）、１～１０００（緑色）･･･１～１００万（橙色）、１～１０００万（赤色）と言う風に区切ってＮ核合成数についてカウントした結果が下のグラフです。キレイな形ですよね。

例えばＮ＝１０のデータを見ると、矢印で指しているように探索桁数が一つ上がると、ほぼ同じ長さずつ十核合成数の個数も増えていくことが分かりました。これはどのＮについても同じ傾向が表れているので「１～１億（１０の８乗）に探索範囲を広げたらどんな感じのグラフになるのか知りたかったら、１００万～１０００万の幅を上にズラした場所に点を打ってみたら大体そうなるっしょ」ってなりますね。それからもう一つ気になったことがありました。

【ピーク位置】何か知らんけど桁数増えたらピークが右シフトしていくぞ(　'ω'　)...？

同じグラフなんですけれど、今度はそれぞれの探索範囲で一番数が多かったピークをピックアップして赤枠で囲んでみました（青点２つは同率一位）。すると、何やら右肩上がりの傾向が表れました。絶対とは言い切れませんけど、グラフ中に引いた灰色矢印のようにピーク位置は探索桁数が上がるほど右側へシフトしていくと予想されます。もしこれが正しければ、桁数によって含まれているＮ核合成数の割合が変わっていることと、どんなにＮが大きい合成数（例えば１００核合成数とか）でもピークを迎える可能性があることを示唆していますね。

【出現確率】グラフがめっちゃ開聞岳の一部っぽくなったし、もっとデータを集めたら素数の数が最少になりそうか分かるわね

Ｎ＝１～８までの探索範囲別のＮ核合成数の出現確率をグラフにしてみました。先ほど赤枠で囲んだ点はこのグラフの一番上にある出現確率が最も高い８点（左上の４０％が同率で２つ重なっているので７点に見えてる）に対応します。一見したところ全く規則性がないようですが、同一Ｎの点同士をつなぎ合わせてみると全て開聞岳みたいな山の一部分が見えてきます。

開聞岳 - Wikipedia

　　　Ｎ＝１，２　：　山の右側の裾野
　　　Ｎ＝３　　　：　山のトップ付近
　　　Ｎ＝４　　　：　山の左側トップ付近
　　　Ｎ＝５　　　：　山の左側
　　　Ｎ＝６～８　：　山の左側の裾野（Ｎ＞８も同様の形）

この山の重なり具合で出現確率は変動していくので、桁数によって含まれているＮ核合成数の割合が変わっていくのは間違いないようです（厳密にそう言うためには、探索範囲を１〜９、１０〜９９、１００〜９９９…に区切ってカウントし直す必要がありそうですね）。

特に、Ｎ＝１（素数）について注目するとどのＮよりも早く山の裾野部分にさしかかっている（＝出現確率が一定の割合で減少し続けると近似できる）ので探索範囲を無限大にすると素数は二核以上の合成数の個数より少なくなるだろうという予想を裏付けそうな傾向がでてますね。自分の概算では、

Ｎ＝１の場合
探索範囲が１０の　　１０乗に達する頃には出現確率　４．５５１５　％
探索範囲が１０の　１００乗に達する頃には出現確率　０．４３５４　％
探索範囲が１０の１０００乗に達する頃には出現確率　０．０４３３　％

という風に出現確率は限りなくゼロに近づいていく感じになります（完全にゼロにはなりません）。他のＮの確率の概算もやりたいところなんですが、いかんせんグラフの右端（探索範囲ＭＡＸの１０の７乗）で山の裾野になっているのがＮ＝１だけで、大目に見てもＮ＝２までしかありません。仮に、Ｎ＝２を裾野とみなすと、次のようになります。

Ｎ＝２の場合
探索範囲が１０の　　１０乗に達する頃には出現確率　１４．８８　％
探索範囲が１０の　１００乗に達する頃には出現確率　　１．９７　％
探索範囲が１０の１０００乗に達する頃には出現確率　　０．２０　％

データを元にして「素数は二核以上のどの合成数より少ない」と言うためには、もっと大量のデータが必要だと言うことが分かりました。じゃあもし、これを数学的に数式を立ててビチッと証明しようと思ったらどうしたらいいんでしょうね？ (　˘ω˘　).｡oO( 全然分からん...

【まとめ】

１～１０００万の自然数を各Ｎ核合成数（Ｎ＝１は素数、Ｎ≧２は合成数）に分けてカウントすると出現確率が開聞岳みたいな山の一部のような形を描きました。探索範囲が大桁数になるほど最大出現確率となるＮが大きくなっていく傾向が見られました（ただ、１０の７乗のレベルに行ってもまだ３なので体感的にめちゃくちゃ遅い）。このことから、Ｎが大きいほど出現確率が最大になる桁数は天文学的にデカくなるでしょう。このまま探索範囲を無限大にした場合、一番始めに山の裾野にさしかかったＮ＝１（素数）の出現確率が最も小さくなるだろうと予想されます（ただ、これはすべてデータを元にした推測なので本当に正しいかは分かりませんよ）。

【余興】𝑵 核合成数の 𝒌 段目までの個数 𝑪(𝒌,𝑵)をグラフ化したらサッポロポテトのバーベＱあじができてもうた

Ｎ核合成数のＮを次元の数だと捉えてｋ段並べた時にできる合成数の種類Ｃ（ｋ，Ｎ）を数えたらどうなるか余興でやってみました。まず、簡単なのはＮ＝１（直線），２（平面）の時で、スライドの黄色エリアで塗った数を数えていくだけです。Ｎ＝２の場合に注意しないといけないのは（ａ，ｂ）（ｂ，ａ）という対称の２点では同じ合成数になっちゃうので２で割る必要がありますね。赤文字でそれぞれ一般化した式を書いてあります。

Ｎ＝３の場合は段数ｋが大きくなるほどサイコロが大きくなっていくように並んでいきます。たくさん点があるようですが、実質以下の３タイプの点しかありません。

①（ａ，ａ，ａ）タイプ　並べ方は　１通り
②（ａ，ａ，ｂ）タイプ　並べ方は　３通り
③（ａ，ｂ，ｃ）タイプ　並べ方は　６通り

「とりあえず全部の点を数えて、後で①／１＋②／３＋③／６したらえぇやろ」っていう感じで集計した結果が下のスライドです。スライドに赤文字で一般化した式を書いてあります。

Ｎ＝１～３まで見てきましたけれど、Ｎ＝Ｎの場合はどうでしょうか？これまで一般化した式を並べてみるとピラミッド的な掛け算の法則性に気づきますね。

（エライ人からしたら「考えずとも自明」と笑われてしまいそうですけど）総乗でキレイにまとまった数式ができました。これでどんな（ｋ，Ｎ）を想定しても一発で計算できます。例えば、（ｋ：１～１０、Ｎ：１～１０）としてちょっと立体のグラフに描いてみると･･･

どう見ても【Calbee】サッポロポテトのバーベＱあじです。本当にありがとうございました ( 灬'ω'灬 )੭⁾⁾