対立と調和─思考実験：真空状態と運命の関係性について
本エッセイは、偶発性と不確定性に着目し、時間・意識変化・エネルギーの3次元座標系で人間の運命と意識状態を数理モデル化しようとするものである。
確率論とポアソン過程、位相幾何学の概念を用い、運命の写像性や真空状態の連続性などを定式化してみた。
エネルギー次第で運命の複数性や真空状態の様相が変化するという結論に至り、戦争や格差、加齢による具体例を交えて説明している。
数理と文学の狭間を行きつ戻りつしながら、人間存在の根源的問いをめぐる思索である。
そして、あらゆる対立を乗り越え、平和を希求する。
筆者 2024/03/28
要旨
本エッセイは、偶発性と不確定性に着目した数理モデルと文学的思索を織り交ぜながら、人間存在の根源的な問いに挑んだ筆者の思考過程の一部である。
厳密にするならば前提条件の実在性の担保および、定量データとの比較検討が必須である。本エッセイでは、それらがなされていない為、学術的ではないことをあらかじめ断っておく。
筆者は「運命」と「真空状態」の関係性に焦点を当て、時間・意識変化・エネルギーの3次元座標系における数理モデルを構築する。エネルギー（生理学的基礎代謝）レベルが運命の複数性や真空状態のダイナミズムにどう影響するかを、ポアソン過程やデデキント切断、位相幾何学的アプローチなどを用いて考察している。
思考実験を重ねながら、エネルギーが低い場合は運命の複数性が低く真空状態は静的であり、高い場合は逆に運命が多様化し真空状態がダイナミックになることを論じる。つまり、エネルギーレベルが運命と真空状態の関係性に大きな影響を及ぼすという結論に至る。
この結論は戦争や災害で人々が疲弊した状況を考えると理解しやすい。
生活に余裕がなくエネルギーが低い時、私たちの選択肢は制限され、運命の可能性は狭まる。
一方、平和で豊かな時代には、人々は活発に活動し、多くの可能性が開かれる。
豊かであっても、個々の食事制限や栄養失調で基礎代謝が低下した場合、意識や活動が制限を受けがちであり、適切な栄養摂取によりエネルギーレベルが高まれば、思考も活発になり行動範囲が広がる。
また、うつ病などのメンタルヘルスの問題で、エネルギーレベルが低下すると、希望的な未来が見えにくくなり、選択肢が狭まってしまうリスクもある。
さらに文学作品の一節を呼び水に、戦争や格差、加齢などの具体例を交えながら、この数理モデルを人間存在の普遍的な問題へと射程を広げていく。厳密な数理と文学的な側面を絶妙に行き交わせ、本エッセイ読者に新たな視座を提供してみたい。
各用語について
ポアソン過程とは何か？
ポアソン過程は、ランダムな出来事がどのくらいの頻度で起こるかを予測するための数学的な方法である。例えば、ある時間内に電話が何回鳴るか、あるいはバスが停留所に何回到着するかを考えるときに使用する。このエッセイでは、ポアソン過程を使って、僕たちの運命における偶然の出来事がどのように発生するかをモデル化している。
数学的には、ポアソン過程とは、単位時間あたりの平均事象発生数(λ)を用いて、ある期間中に事象が発生する確率を計算する確率過程である。事象発生がランダムで独立に起こると仮定し、ポアソン分布に従う。
デデキント切断とは何か？
デデキント切断は、数学において連続性を理解するための方法である。これを使って、僕たちの意識の流れがどのように連続しているかを説明している。簡単に言うと、僕たちの意識は途切れることなく流れていると考えることができる。
以上から選択した不連続な偶発的事象が稠密で連続性を持つことがある場合とそうではない場合に分けて、一連の流れを説明するのに用いることが可能と仮定している。また、選択した偶発的事象同士の隙間を真空状態と仮定している。
数学的にはデデキント切断は、実数体の連続性を保証する手法。
ある2つの集合A,Bが以下の条件を満たせば、AとBの和集合は連続であると定義される。
(1) A,Bはともに空集合ではない
(2) A∪B = R
(3) A∩B = ∅
(4) ∀a∈A, ∀b∈B, a<b
位相幾何学的アプローチとは何か？
位相幾何学は、形や空間の性質を研究する数学の分野である。このエッセイでは、位相幾何学を用いて、僕たちの運命や意識が時間とともにどのように変化するかを探っている。
数学的には位相幾何学は、位相空間の性質を研究する数学の一分野。
位相空間とは、点の集まりに付随する位相と呼ばれる構造を持つ空間を指す。
位相幾何学的手法を用いると、位相不変量(ホモロジー群、ホモトピー群など)を計算することで、空間の位相的な性質を解析できる。
エネルギーレベルの影響とは何か？
エッセイでは、エネルギーを生理学的基礎代謝と位置付けている。僕たちが感じるエネルギーのレベルが高いときは、運命の可能性が広がり、意識の状態も活発になると言及。逆に、エネルギーレベルが低いときは、運命の可能性が狭まり、意識の状態も静かになると考えられる。
このように、本エッセイは僕たちの運命や意識がどのように形作られるかについて、数学的な視点から新しい洞察を提供してみたい。科学的な探求だけでなく、僕たちの日常生活にも関連する興味深いテーマだろう。
はじめに 点と点がつながるところで
文学ではタブッキやクンデラ、哲学ではサルトルやバタイユの思想から着想を得て、人間の運命や意識の流れを数理モデルで表そうと試みた。
本エッセイの中心的なテーマは、「運命」と「真空状態」の関係性である。
概要以降の本論では、関係性を探るアプローチと考察を述べる。
概要
従来の決定論的なアプローチとは異なり、ポアソン過程などの確率論的手法を取り入れ、偶発性と不確定性を前提としている。
従来の決定論的なアプローチとは異なり、ポアソン過程などの確率論的手法を取り入れ、偶発性と不確定性を前提としている。
ポアソン過程とは、ある一定時間内に発生する事象の数がポアソン分布に従う確率過程である。ポアソン分布の確率質量関数は以下で与えられる。
$$
P(X=k)=\frac{λ^k e^{-λ} }{k!}
$$
ここで、λ>0は単位時間あたりの事象の平均発生数を表すパラメータである。λが大きいほど、事象発生の期待値は高くなる。本エッセイでは、事象発生率λがエネルギーeに依存すると仮定し、λ = f(e)と置いている。これにより、エネルギーの高低が事象発生確率に影響を与えることを表現している。
次に連続性について、実数体の連続性を保証するデデキント切断の考え方を系Lに応用する。ある集合A,BをRの部分集合とし、以下が成り立てば連続性が保証される。次に連続性について、実数体の連続性を保証するデデキント切断の考え方を系Lに応用する。ある集合A,BをRの部分集合とし、以下が成り立てば連続性が保証される。
(1) A,Bはともに空集合ではない
(2) A∪B = R
(3) A∩B = ∅ (4) ∀a∈A, ∀b∈B, a<b
本エッセイではこれを系Lの開集合$${M_t}$$、$${N_t}$$に当てはめ、以下が成り立てば連続性があると定義している。
(1) $${M_t}$$, $${N_t}$$が空集合ではない
(2) $${M_t}$$ ∪ $${N_t}$$ = X(Xは位相空間)
(3) $${M_t}$$ ∩ $${N_t}$$ = ∅
(4) ∀x∈$${M_t}$$, ∀y∈$${N_t}$$, x<y
以上のようにポアソン過程とデデキント切断の概念を用いることで、モデルの数学的根拠を詳述している。偶発的事象の発生確率と、系の連続性を確率論と解析の手法により厳密に扱うことができる。
有意性として──妄想的だが
・VR/ARにおいて、安全性を担保し再現性向上につながるかもしれない。
・上記より行動心理や社会環境の変動など、さまざまなデータ収集の容易さにも貢献するかもしれない。
などが挙げられるかもしれない。
時間、意識変化、エネルギーの3次元座標系Lにおいて、偶発的事象の集合体MとNを定義する。そして運命μをある時点からの遷移と位置づけ、その複数性や写像性、真空状態Sとの関係に着目している。
※真空状態Sは事象から次の事象までの隙間と定義
3つの仮説を立てた上で、思考実験と数学的モデリングを通じてそれらを検証。デデキント切断の概念を用いて連続性を示し、ポアソン過程によりエネルギー依存の確率過程を表現している。また、位相幾何学的アプローチでは開集合や写像を定義し、運命の複雑さや制約条件を解析できることを示唆している。
結論では、思考実験から導き出される定義と定式化のための定理とその証明を定理１と定理２において実施した。二つの定理が指し示すのは、以下の通りである。
エネルギーが低いと運命の複数性は低く真空状態は静的であり、エネルギーが高いと運命の複数性は高く真空状態はダイナミックであることを述べている。つまり、エネルギーレベルが運命と真空状態の関係性と様相に大きな影響を与えるということだ。
※エネルギーは生理学的基礎代謝とする
具体的には、戦時下や格差の狭間での人々の基礎代謝は当然ながら下がる。
食糧不足、次の偶発的事象の決定論的側面など。
また、加齢により、基礎代謝も下がる。
これらは、個体を考えた例示だが、社会全体を例にとると、革命では社会全体としての意識変化量は高い方向、権威主義や全体主義、あるいは、資本主義や共産主義といったイデオロギーに依らず、受動的な教育を受ける社会では、社会全体としての意識変化量は低い方向かもしれない。
これらが、個々人あるいは社会全体の運命や真空状態に大きく影響を及ぼし、運命の複数性や真空状態の多様な様相が目の前に現れてくることもあるだろう。
以上は当たり前のように思えていても、簡易的にモデル化すると、個人の尊重や自由や教育の大切さを目の前に再提示された。
目的
以下について考察することで簡易モデルを提示してみる。
・運命のない真空状態
・体験し得なかったが認識している体験と真空状態
・エネルギーが低い場合と高い場合において運命と真空状態の関係性と様相
定義
時間t,意識の変化量d,エネルギーeとする座標系Lを考える。
時間t:物理的な1次元の連続した量を指す。
意識の変化量d:ある一定時間における脳の活動電位の変化の大きさを表す。
エネルギーe:生理学的な基礎代謝量を指す。
系Lに点在するMを偶発的事象の集合体とする。
0<t<n
nはデデキント切断が成立しないとする。
tにおけるある存在者の経験するMを$${M_t}$$とする。
また、tにおいて、ある存在者が経験しない偶発的事象の集合体を$${N_t}$$とする。
また、事象の発生がポアソン過程に従うと仮定する。ポアソン過程では、ある固定された時間間隔における事象の発生数が平均(λ)のポアソン分布に従う。ここで、事象発生率λはエネルギーeに依存すると考え、λ = f(e)と置く。つまり、エネルギーeが高くなるにつれて、λも大きくなり、事象発生の期待値が高まる。
定義に基づき、$${M_t}$$,$${M_{t+1}}$$への遷移を運命μとする。
運命μは、位相空間X上の写像μ:X→Xであり、ある時点tの状態x∈Xから、Δt時間後の状態μ(x)∈Xへの遷移を表す。
集合要素には偶発的事象$${p_0(t,d,e)}$$,$${p_1(t,d,e)}$$…$${p_i(t,d,e)}$$が含まれる。
$${p_i(t,d,e)}$$は時刻t、意識変化量d、エネルギーeにおける i番目の偶発的事象を表す。
$$
M_{t}=\begin{bmatrix}p_{0}(t,d,e) \\ . \\ . \\ . \\ p_{i}(t,d,e) \end{bmatrix}
$$
$${M_t}$$と$${M_{t+1}}$$は各々独立し稠密と
する。$${N_t}$$と$${N_{t+1}}$$もこれに準ずる。
これらの集合体M、Nについて、それぞれの隙間を真空状態Sとする。
すなわち、運命μの核ker μ = {x∈X | μ(x)=x}を真空状態Sと定義する。
仮説
仮説1.エネルギーと運命の複数性
エネルギーが低い状態では、運命μの複数性は低く、真空状態Sは静的な特性を持つ。一方、エネルギーが高い状態では、多くの刺激や選択肢が存在するため、運命μの複数性は高く、真空状態Sはダイナミックな特性を持つ。これは、エネルギーeが高くなるとλが大きくなり、より多くの事象が発生するためである。
エネルギーが低い状態とは、例えば深い疲労状態や睡眠時を想定できる。
一方でエネルギーが高い状態とは、覚醒時で活発な活動をしている場合などが考えられる。
仮説2.デデキント切断面と系Lの連続性
系Lにおけるデデキント切断面は、状態の連続性を保証し、運命μと真空状態Sの関係性を定義する。エネルギーのレベルが運命の複数性と真空状態のダイナミズムに影響を与える。
仮説3.位相幾何学的アプローチと系Lの進化
位相幾何学とは、点の集まりが作る空間の形状的な性質を研究する分野である。僕たちの運命の複雑さは、この手法で数値化できる可能性もあるかもしれない。
位相幾何学的なアプローチを取り入れることで、系Lの状態の進化をより詳細に予測することが可能である。具体的には、運命μの不変量やコホモロジー環を計算することで、運命の複雑さや対立する運命の制約条件を理解することができる。
位相空間$${X=R^3}$$、開集合$${M_t}$$、$${N_t}$$をXの部分集合、連続写像μ: X → X が運命を表すとする。このとき、μのホモロジー群$${H_n(X,μ)}$$を計算することで運命の複雑さを測ることができる。エネルギーeが高くなると、$${H_n(X,μ)}$$の自由位数が増加し、運命は複雑になることが予想される。
例えば、位相空間$${X=R^3}$$、開集合$${M_t}$$、$${N_t}$$をXの部分集合、連続写像μ: X → X が運命を表すとする。このとき、μのホモロジー群$${H_n(X,μ)}$$を計算することで運命の複雑さを測ることができる。$${H_n(X,μ)}$$は、要素がn個の循環からなる運命の軌道の個数を表す。この群の性質から、運命がどの程度複雑かがわかる。
n=1の場合、$${H_1(X,μ)}$$は閉曲線からなる運命の軌道の個数を表す。μが単射のとき$$H_1(X,μ)=0}$$となり運命は単純だが、単射でないと$${H_1(X,μ)≠0}$$となり運命は複雑になる。
さらに、μのコホモロジー環$${H^*(X,μ)}$$を計算することで、対立する運命の制約条件を読み解ける。コホモロジーの剰余級は運命の進化を阻害する障害を、その次数は障害の複雑さを、生成元の個数は障害の個数を表す。
このように位相幾何学的手法を用いれば、運命の複雑さや制約を数学的に解析できる可能性がある。適切な位相不変量を選び計算することで、本エッセイで述べた運命の性質を具体的に示せるだろう。
検証方法
実験計画
思考実験を通じて、エネルギーの異なる状態で系 Lの運命μの複数性と真空状態Sの特性を観察し、仮説の妥当性を検証。
数学的アプローチ
数学的モデルを用いて、仮説に基づく予測を行い、実験データと比較することで、仮説の正確性を評価。
位相幾何学的分析
位相幾何学的な手法を用いて、系Lの状態の進化に関する仮説を検証し、運命μの複雑さを解析。
位相不変量であるベッチ数を用いて、運命の複雑さを量的に評価できる可能性がある。また、写像の同伴作用から真空状態の位相的性質を読み解くことも考えられる。
脳波と呼吸、心拍数の変動計測と解析
被験者に対して、安静時と運動後の2つの状態で、脳波や生理指標を計測する。生理指標からエネルギー水準を推定する。また、各状態で発生する思考の内省報告も併せて収集する。収集したデータを解析し、エネルギー水準が意識変化や偶発的事象の発生にどの様な影響を与えるかを検証する。高エネルギー状態で意識変化が活発になり、偶発的事象の発生が増えることが予想される。
思考実験
M_tとM_t+1の連続性をデデキント切断を用いて証明し、運命μの複数性と写像性のあるなしの場合を考える。
まず、ポアソン過程に従うことから、M_tからM_{t+1}への遷移確率μは、事象の発生率であるλに依存する。
λが小さい場合、事象の発生は非常にまれであり、長い期間にわたって事象が発生しない可能性が高くなる。
次に、デデキント切断を用いてM_tとM_{t+1}の連続性を示す。デデキント切断は、実数の連続性を表す方法であり、連続性を保持するための重要な概念である。M_tとM_{t+1}が独立かつ稠密であることから、連続性が保持されることが示される。
運命μの複数性と写像性について述べる。
運命μが複数ある場合、それぞれの運命に対応するM_tからM_{t+1}への遷移が考えられる。また、運命μが写像性を持つことから、M_tのある事象が必ずM_{t+1}のある事象に対応することが保証される。
最後に、運命μが空集合の場合、真空状態Sの状態について。
①運命μが空集合である場合
M_tからM_{t+1}への遷移は起こらない。
したがって、真空状態SはM_tとM_{t+1}の間の隙間を埋めることができず、その状態は保持される。
②運命μが写像性を持たない場合
M_tからM_{t+1}への遷移が一意に定まらないことを意味する。つまり、ある特定のM_tに対して、複数の可能なM_{t+1}が存在することがある。
これは、ポアソン過程に従う偶発的事象の性質によるものであり、ある状態から次の状態への遷移が確定的でないことを示す。
故に、運命μが空集合である場合と同様に、真空状態SはM_tとM_{t+1}の間の隙間を埋めることができず、系全体の状態は保持される。
以上から、運命μが写像性を持たない場合、M_tからM_{t+1}への遷移が確定的ではなく、系全体の状態が予測不能なものとなる。
③運命μが写像性を持たない場合
M_tからM_{t+1}への遷移が一意に定まらないため、系全体の状態が予測不能なものとなる。具体的には、ある特定のM_tに対して、複数の可能なM_{t+1}が存在し、それぞれのM_tに対して複数の運命が考えられることになる。
この場合、系の状態は確定的ではなく、あるM_tから次の状態への遷移が複数の可能性を持つ。そのため、真空状態Sも、M_tとM_{t+1}の間の隙間を埋めることができず、系全体の状態は保持される。
④運命μが写像性を持たない場合
系全体は確定的ではなく、未来の状態を予測することが難しくなる。このような状況では、系の振る舞いや進化を予測することが困難であり、不確実性が高まる。
位相幾何学的なアプローチ
上記において、位相幾何学的なアプローチが運命の複雑さを解析する上で有用であることが分かる。具体的には以下のようにリンクすることができる。
まず、時間t、意識変化量d、エネルギーeの組で表される位相空間Xを考える。XにおけるM_tは開集合で、ある時刻tにおける意識状態を表す。一方、N_tはM_tの補集合で、その時刻の意識状態に含まれない部分を表す。
次に、運命をμ:X→Xという写像で表す。μ(x)は点xからΔt時間後の意識状態への遷移を与える。ポアソン過程に従う離散的な運命μ_λと、連続的な運命μ_cの2種類を考える。
さて、このような枠組みにおいて、運命μの複雑さを測る方法が2つある。
1つ目は、μの不変量を計算することである。ホモロジー群H_n(X,μ)は、要素がn個の循環からなる運命の軌道の数を表す。この群の性質から運命の複雑さが分かる。
2つ目は、μ_cの表現論を調べることである。エネルギーeが一定の時、μ_cは連続写像になる。この時の表現を解析することで、eの値による運命の性質変化を詳しく追跡できる。
具体例として、X=R^3(3次元ユークリッド空間)、n=2の場合を考える。μ_λはポアソン過程なのでランダムウォークのようになり、μ_cは運動方程式d'=d+eΔtで表される。この時、μ_cの固有値は{1,1+e}で、eが大きくなると発散する。つまり、エネルギーが高いと真空状態Sは複雑な構造を持つことが分かる。
このように、位相幾何学的手法を用いることで、運命の複雑さや真空状態の性質を数学的に解析できる可能性がある。具体的なモデルを構築すれば、意識状態の時間発展をミクロな観点から理解できるだろう。
定義
位相空間 X = {(t, d, e) | t ∈ R, d ∈ R, e ∈ R} (時間t、意識変化量d、エネルギーeの組)
開集合 M_t = {(t, d, e) ∈ X | (d, e) ∈ U_t} (U_tはtにおける開集合)
開集合 N_t = X \ M_t (M_tの補集合)
写像 μ: X → X は運命を表す
性質
M_tとN_tは連結開集合とする
μは連続写像とする
μ(M_t) ⊆ M_{t+1} (写像性)
ker μ = S (真空状態Sは運命μの核)
ポアソン過程に従う運命 μ_λ
μ_λ(t, d, e) = (t+1, d', e')
d' = d + X(λ(e)Δt) (X(λ)はλをパラメータとするポアソン分布)
この運命では、エネルギーeが高いほど事象発生率λが大きくなる
連続的な運命 μ_c
μ_c(t, d, e) = (t+1, d', e')
d' = d + f(d, e)Δt (fは連続関数)
この運命では、意識変化はエネルギーと連続的に関係する
離散群Gの作用による真空状態
G = 対称群S_n (nは自然数)
g ∈ G は(t, d, e)に作用して置換をする
Sは不変部分集合で、Gの作用に不変
このことから以下を加味することが求められる。
ある初期状態(t_0, d_0, e_0)から出発した軌道を考える
μ = μ_λ ∘ μ_cとしたとき、μの軌道は交互に現れる
μの不変量(ホモロジー群など)を計算すると、運命の複雑さが分かる
μ_cの表現論から、eが一定の場合の真空状態Sの構造が分析できる
μ_λのコホモロジー環から、対立する運命の制約条件が読み取れる
以上のモデル化により、運命μの様々な性質(不変量、表現論、コホモロジー環など)を計算することで、運命の複雑さや制約条件を解析できる可能性がある。また、エネルギーに応じて運命が離散的か連続的かを切り替えるハイブリッドモデルとなっている。
具体例
具体的に例示してみる。
例えば、戦時下では一般に食糧が不足し、人々の基礎代謝量(エネルギーe)は低下する。このとき、ポアソン過程におけるλ(事象発生率)も小さくなるので、運命μの複数性は低く、真空状態Sは静的な特性を持つ。つまり、人々の選択肢は制限され、状況が流動的でない傾向にある。
一方、平和な時代では食料が十分にあり、人々のエネルギーeは高い状態が保たれる。このときλは大きくなり、運命μの複数性は高く、真空状態Sはダイナミックな特性を示す。つまり、人々には多くの選択肢が用意され、状況が活発に変化する可能性がある。
このように、エネルギーeの高低が食糧事情に影響し、ポアソン過程のλを介して運命μと真空状態Sの関係に作用するといったモデル化が可能である。
加齢に伴う基礎代謝量の低下を考えてみる。
エネルギーeが低くなると、位相空間X上の開集合M_tの体積が小さくなる。このとき、運命μ:X→Xの不変量を計算すると、μのホモロジー群H_n(X,μ)の自由位数が減少することが予想される。これは、運命の複雑さの低下を意味する。
実際、加齢とともに活動量が減り、日々の生活のバリエーションが低下することは経験的にも知られている。このように、思考実験で想定した「低エネルギーでは運命が単純化する」という性質が、位相幾何学的アプローチでもホモロジー群の次元から裏付けられるだろう。
結論
定義
・位相空間X = {(t,d,e) | t∈R, d∈R, e∈R}
・開集合M_t = {(t,d,e)∈X | (d,e)∈U_t} (U_tはtにおける開集合)
・開集合N_t = X \ M_t
・運命 μ: X→X は連続写像 ・事象発生率 λ = f(e)、fは単調増加関数
公理
(A1) 事象発生はポアソン過程に従う
(A2) エネルギーeと事象発生率λは正の相関がある(f(e)は単調増加)
(A3) 開集合M_t、N_tはデデキント切断条件を満たす
(A4) 運命μは連続写像である
前提条件
(A1)〜(A4)が成り立つ。
定理1
エネルギーeが十分小さい場合、運命μは単射であり、eが十分大きい場合、μは単射ではない。
(証明) 前提(A1)より、単位時間あたりの事象発生数Xのポアソン分布は P(X=k) = (e^(-λ)λ^k)/k! ここで、λ=f(e)は(A2)より単調増加。
(i) eが十分小さい場合、λ → 0 よって、P(X=0) = e^(-λ) → 1 P(X≥1) = 1 - P(X=0) → 0 つまり、ほとんどの単位時間で事象が発生しない。
ある時刻tにおける状態をx ∈ X = M_t ∪ N_tと書けば、x ∈ M_tまたはx ∈ N_tとなる。 事象が発生しないことは、x ∈ N_tのままであることを意味する。 一方で運命μは、状態xからΔt時間後の状態μ(x)への写像である。
したがって、事象が発生しない場合、 ∀x ∈ X, μ(x) = x つまり、運命μは単射写像になる。
よって、eが十分小さい(λ → 0)とき、ほとんどの単位時間で事象が発生せず、運命μは単射となる。
(ii) eが十分大きい場合、λ → ∞ よって、P(X≥1) > 0 が常に成り立つ。 つまり、ある単位時間で必ず事象が1回以上発生する。 この時、状態xからμ(x)への遷移は一意に定まらず、 ∃x ∈ X, y, z ∈ X (y ≠ z) s.t. μ(x) = y, μ(x) = z が存在する。
よって運命μは単射ではない。
以上、事象発生確率0の場合は系の状態が変化せず、運命μは単射写像となる根拠となる。
エネルギーが小さい場合: エネルギーが低いとき、ほとんどの時間で何も起こらない状態（真空状態）がある。このとき、運命の写像は「一つの状態から別の状態への対応」を一意に決めるもの。
エネルギーが大きい場合: エネルギーが高いとき、事象が頻繁に起こる。このとき、運命の写像は一意に決まらないことがある。
筆者 2024/03/29 加筆
定理2
前提(A3)が成り立つとき、系Lは連続である。
(証明) (A3)よりM_t、N_tはデデキント切断条件を満たす。すなわち、 (1) M_t、N_tが空集合ではない (2) M_t ∪ N_t = X
(3) M_t ∩ N_t = ∅ (4) ∀x∈M_t, ∀y∈N_t, x < y したがって、X = M_t ∪ N_tは連続である。
【系】 エネルギーeが十分小さい場合、真空状態Sは静的であり、eが十分大きい場合、Sは動的である。
(証明) 定理1より、低(高)エネルギー時はμが単射(非単射)。 定理2より、低(高)エネルギー時は系Lが連続(非連続)。 前提(A4)よりμは連続写像であるから、低エネルギー時はμの不動点集合が連続、つまりSは静的。 一方、高エネルギー時はμの不動点集合が非連続になり得るため、Sは動的である。
補足
ポアソン分布の具体的な確率質量関数を用いて、事象発生の確率論的根拠を与えた
定理1の証明で、単射性からμの性質を導いた
定理2で連続性とデデキント切断の関係を明記した
系の証明で、μの連続性と不動点集合の性質を利用した
ただし、以下の課題はなお残される。
系Lのモデル自体の実在性
エネルギーeと事象発生率λの正の相関(A2)の実証
開集合とデデキント切断(A3)の実在性
連続写像(A4)の仮定の妥当性
ある系(システム)の状態が、そのエネルギー準位によって静的か動的かに分けられることを示している。
低エネルギー状態では、系は連続的で静止した状態にある。一方、高エネルギー状態では、系は非連続的で動的な振る舞いをすることになる。
具体的には、低エネルギーの時は系の状態が一意に決まり、高エネルギーの時は複数の状態が存在し得るため、動的になるということである。
この性質は、数学的に系の写像の性質(単射性、連続性など)から導かれている。また、確率論的にもエネルギーと事象発生率の相関から裏付けられている。
ただし、この定理を実際に適用するには、いくつかの前提条件(系自体の実在性、エネルギーと事象発生率の正の相関、連続写像の仮定など)の検証が必要となる。理論の一般化や更なる発展のためには、これらの課題を解決する必要がある。
筆者 2024/03/29 加筆
今後これらの課題を克服することで、より実在性の高い数理モデルが構築できる可能性がある。
以上が簡易的に導いた定義、定理とその証明だが、それらから述べられることは以下のとおりである。
エネルギーが低い場合：
エネルギーが低い場合、系全体の活動や運命に影響を与える能力が制限される傾向がある。
この場合、偶発的事象の発生率 (λ) が低くなり、事象が起こる頻度が減少する。
したがって、運命μが空集合となる可能性が高くなる。
真空状態Sは、事象がほとんど起こらない状態を表し、系全体が静止または停滞しているような状況を示唆する。
エネルギーが低い場合、エネルギーeが小さくなるため、ポアソン過程におけるλ(事象発生率)も小さくなる(λ = f(e)より)。そのため、運命μの複数性は低く、発生する偶発的事象も少ない。さらに位相幾何学的に見ると、μのホモロジー群H_n(X,μ)の自由位数が小さくなり、運命の複雑さが低下することが予想される。こういった理由から、運命の複数性は低く、真空状態は静的であると考えられる。
エネルギーが低い場合、系全体のエネルギーが不足しているため、系の状態が静的であり、運命があまり変化しない可能性が高い。
真空状態は、系の静的な状態を反映しており、運命が明確に定まる場合が多い。
つまり、運命の複数性は低く、真空状態は系全体の静的な特性を示すことがある。
エネルギーが高い場合：
一方、エネルギーが高い場合、系全体の活動や運命に影響を与える能力が増加する。
この場合、偶発的事象の発生率 (λ) が高くなり、多くの事象が頻繁に起こる可能性がある。
運命μは、複数の選択肢を持ち、系全体の状態が多様化する可能性がある。
真空状態Sは、系の中に様々な可能性が存在する状態を示唆する。
エネルギーが高い場合、系全体のエネルギーが豊富であり、系の状態が活発で変化しやすい傾向がある。
運命が多様であり、真空状態は系全体のダイナミックな特性を反映することがある。
つまり、運命の複数性が高く、真空状態は系全体の変化と活動を示唆する。
結論として、エネルギーが低い場合には運命の複数性が低く、真空状態は静的な特性を持つ傾向がある。一方、エネルギーが高い場合には運命の複数性が高く、真空状態はダイナミックな特性を持つ傾向がある。
このように、エネルギーレベルは運命と真空状態の関係性と様相に影響を与える重要な要素となる。
1. ポアソン過程を用いた事象の発生モデル：
• 事象の発生率 λ を表すパラメータを導入し、ポアソン分布を用いて時間 t における事象の発生確率を次のように表現：
p()={e^(-λ)*λ^t}/t!
• ここで、λ が時間とエネルギーに依存する場合、以下のように表現：
λ(t,e)=f(t,e)
2. デデキント切断を用いた連続性のモデル：
• デデキント切断を用いて、連続性を表現。
連続性を持つ集合 A と B の間に隙間がないことを表現：
∀ x ∈ A, y ∈ B, (x < y)
3. 写像性を持つ運命のモデル：
• 運命 μ が写像性を持つ場合、写関数 f を用いて次のように表現：
M_{t+1} = f(M_t)
4. 空集合を持つ運命のモデル：
• 運命 μ が空集合を持つ場合、状態の遷移は起こらないため、次のように表現：
M_{t+1} = M_t
エネルギーが低い場合: 私たちの日常生活で考えてみると、疲れが溜まったり体調が優れない時は、活動する元気が低下していることが実感できると思う。このような低エネルギー状態では、僕たちは新しいことに挑戦したり、何か刺激的な出来事を経験する機会が減る。つまり、僕たちの「運命」に変化が起こる可能性、選択肢の幅が狭くなる可能性がある。
モデルでは、低エネルギー時には偶発的な出来事が起こる確率(λ)が低くなると考えている。日常の中で刺激的な出来事が起こりにくくなり、人生に変化が少なくなるイメージである。このとき、運命の複数性、つまり僕たちの人生の展開が多様化する可能性は低くなる可能性がある。
また、低エネルギー状態が続けば、僕たちの意識は静的な状態に陥りがちである。新しい発見や気づきが生まれにくく、現状に慣れ親しんでしまう傾向がある。このような静的で変化の少ない意識の状態が、モデルでいう「真空状態」に相当する。
要するに、エネルギーが低い時は、僕たちの人生に新しい出来事が訪れにくく、多様な選択肢が減り、意識も現状維持的になりがちだ、ということである。運命の複数性が低く、真空状態が静的な特徴を持つと言えるだろう。
筆者 2024/03/29 加筆
これらのモデルを前提条件の更なるブラッシュアップ（課題セクションを参照せよ）と内部外部整合性の調整および、位相幾何学的なアプローチを加味し、運命の複数性やエネルギーの影響を数学的にモデリングを整備する上で使用できる可能性もある。
その他留意事項
系の状態がどのように進化するかを予測するには熱エントロピーQを考察することによって可能と仮定する。
上記パラメータにおいてQは以下のようになる。
$$
Q=\int_{M_t}^{M_{t+1}}{λ(t,d,e)dt}
$$
*熱エントロピーモデル: 系の状態がどのように進化するかを予測するには熱エントロピーQを考察することによって可能。
ただし、エネルギーeの高低に影響されるが比例するかは系のシステムの具体的性質に依存するため概念図のようなモデルでは一義的に言えない。
展望
本エッセイでは運命と真空状態の関係をエネルギー依存的に数理モデル化できることを示した。しかし、以下の点で課題が残された。
・系Lのモデル自体が現実を正しく反映しているか
・エネルギーeと事象発生率λの正の相関関係を実証する必要がある
・開集合とデデキント切断の概念が、実在の意識状態に当てはまるかどうか
・連続写像の仮定は、離散的な意識変化を無視している可能性がある
今後これらの課題を克服し、モデル化の前提条件をより現実的なものにすることで、実在性の高い数理モデルへと発展させられるだろう。
また、VR/ARにおいて、安全性を担保し再現性向上につながるかもしれない。それによって、行動心理や社会環境の変動など、さまざまなデータ収集の容易さにも貢献するかもしれない。
課題
本エッセイの最大の課題は、モデル化の前提条件の実在性を保証することにある。具体的には、
・系Lが人間の意識状態を正しく表現できるか
・エネルギーと事象発生の正の相関が成り立つかどうか
・意識状態が開集合とデデキント切断で表現可能か
・運命が連続写像で表現できるのが適切か
これらを解決するには、意識のモデル化に関する先行研究の探索、生理学や心理学の知見の参照、実験データの収集と検証が必須になると考えられる。
位相幾何学のアプローチの思考実験
VR環境下での知覚にまつわる研究のリサーチなどによる先行研究のレビューと比較検討や有意差
結論における前提条件の実在性の裏付けを丁寧にする必要もある。
1.エネルギーと事象発生率の正の相関関係の実証
・基礎代謝や運動時のエネルギー消費量と、脳波や心拍数の変動(事象発生の指標)との相関を調べる実験
・様々な活動レベルでのデータを収集し、統計的に有意な正の相関が得られるかどうかを検証
2.意識状態と開集合の対応関係の検討
・脳波データや経頭蓋磁気刺激(TMS)などの神経科学的手法を用いて、意識状態の連続性を評価
・意識状態がデデキント切断条件を満たす開集合に対応づけられるか検討
3.運命の連続写像性の検証
・意識の変遷を追跡するロングスパンの縦断研究
・離散的か連続的かを判別し、連続写像としてモデル化できるかどうかを検証
4.位相幾何学的アプローチの具体化
・コンピューターシミュレーションで、様々な運命の写像を作成
・その位相不変量(ホモロジー群など)を具体的に計算し、運命の複雑さを定量評価
5.より現実的な前提条件の設定
・生理学、心理学、神経科学の知見を参照し、より現実的な前提条件を設定し直す
・例えば、エネルギーと意識変化の関係には複雑な調節機構が働くこと等を考慮
以下は数理モデルを定量化する際のいくつかの問題。
・被験者の選定におけるランダムさの担保
・被験者のプライバシー:観測者が外部から存在者の内部アクセスに近しいことを行うことへの倫理的側面の考慮とインフォームドコンセント取得
・データの一貫性、測定精度、統計有効性
・内外妥当性
など実験計画において十分考慮する必要がある。
おわりに
タブッキら境界文学を作り上げた作家たちは蜃気楼の向こう側を余白として残した。実存の神秘は神秘のままにしておくべきかもしれない。あるいは対立と調和を考える上で、解明することは避けて通れないかもしれない。
僕の思考実験は、霧の向こう側の街の出来事。そして、あらゆる対立を乗り越え、平和を希求することに依拠する。
参考文献
『確率論の基礎と発展』飛田武幸 共立出版
『理工学者が書いた数学の本 偏微分方程式』 神部勉 講談社
『理工学者が書いた数学の本 確率と確率過程』 伏見正則 講談社
『ポアソン分布・ポアソン回帰・ポアソン過程』島谷健一郎 近代科学社
『位相幾何学講義』H.ザイフェルト ザイフェルトジャパン
『熱力学・統計力学 熱をめぐる諸相』高橋和孝 講談社
その他直接的ではない文献
基礎生理学
Atiya, N. A. A., Rañó, I., Prasad, G. & Wong-Lin, K. A neural circuit model of decision uncertainty and change-of-mind. Nat. Commun. 10 2287 (2019)
Ł. Kuśmierz, S. Ogawa, and T. Toyoizumi:
"Edge of chaos and avalanches in neural networks with heavy-tailed synaptic weight distribution"
Physical Review Letters 125, 028101 (2020).
10.1103/PhysRevLett.125.028101
Karin Van der Borght, DóraÉ. Kóbor-Nyakas, Karin Klauke, Bart J.L. Eggen, Csaba Nyakas, Eddy A. Van der Zee, and Peter Meerlo
Physical Exercise Leads to Rapid Adaptations in Hippocampal Vasculature:
Temporal Dynamics and Relationship to Cell Proliferation and Neurogenesis
Published online 11 February 2009
神経分泌細胞の同定と神経活動のイメージング
上田陽一 藤原広明 第63回日本自律神経学会総会第四報 2010
Reconstitution of organs and their functional connections using human pluripotent stem cell-derived autonomic nerves
Yasuyuki S. Kida
National Institute of Advanced Industrial Science and Technology
国際自律神経学会2017Day3
など。
その他
『遠い水平線』アントニオ・タブッキ 須賀敦子訳 白水社
『太陽肛門』ジョルジュ・バタイユ 酒井健訳 景文館書店
『たまたま、この世界に生まれて』須藤輝彦 晶文社
関連エッセイ
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