連続体力学に基づいた物理計算の話 -4-

2024年1月31日 22:00

物理学では「質点」と「剛体」と「連続体」という３種類の物体の扱い方が存在します。

特に、連続体は物体の質量、運動（並進と回転）、そして形状変化（変形）を考慮します。質点や剛体はより扱い方を簡略化した存在と言えます。

こうした物体の変形を扱う学問として「連続体力学」があります。連続体力学は固体だけでなく、流体の分野にも適用可能な古典的学問でもあります。

前回はテンソルに関する応用を書きました。例えば、応力やひずみは２階テンソルですが、それらを式で連結するためには４階テンソルが必要になります。微分記号に関する対処にも言及しました。

今回はテンソルの話を踏まえて、本格的に物理としての扱い方を示します。連続体力学の中でも「応力」の代表的な指標と言える「コーシー応力」から話を始めたいと思います。

連続体内部に生じる力

連続体力学では「コーシーの応力原理」が何よりの根幹になります。物体に力が作用すると、物体内部にはそれに抵抗する力（内力）が生じます。

力学では注目する部分を仮想的に切り出して、そこの力のつり合いから未知の作用力を取り出します。連続体においても、断面を仮定した上でそこに作用する分布力を考えます。

仮想的に切り出した断面で微小面積を限りなくゼロに近づけます。ここから極限を考えること（命題）が「コーシーの応力原理」に相当します。

以上に基づいて導出される内力を「コーシー応力」と言います。また、テンソル量に相当する「コーシー応力テンソル」は２階テンソルです。３行３列の対称行列を意味しており、３通りの垂直応力と３通りのせん断応力の６通りの応力成分が情報として定義されます。

物理量としてのコーシー応力テンソルは座標変換に依りません。つまり、座標変換前後の各座標系を参照する成分間で「座標変換則」が成立します。この時に登場する座標変換行列は直交行列です。

物理量としてのコーシー応力テンソルは座標変換に依りませんが、座標変換を通じて見かけの応力成分（値）は変化します。一方で、座標系の取り方とは無関係に評価できる「応力」の数値も確かにあります。

コーシー応力テンソルの本質的な数値として、直交関係にある３通りの成分だけを抽出する作業を行います。これは数学的には固有値問題を解く要領です。このときの固有値を「主応力」と言います。また、直交関係にある３方向を「主軸」と言います。

一般的な座標系を参照する場合は、コーシー応力テンソルは６通りの応力成分で構成されますが、主応力は新たに独立した３通りの応力成分が残ります。

主応力を用いて計算できる不変量があります。主に固有方程式から導出される多項式ですが、偏差応力と呼ばれる変数に対応した不変量もあります。偏差の不変量は発展的な捉え方もできます。

主応力を用いて計算される不変量として登場した「平均応力テンソル」と「偏差応力テンソル」ですが、それぞれ物理的な捉え方があります。

平均応力テンソルは主応力の方向（主軸）における引張や圧縮による体積変化を表します。また、偏差応力テンソルは平均応力テンソルの内積はゼロです。両者は直交関係にあり、等方的な力の作用とは無関係なせん断を表します。

主応力を座標軸に置き換えた形を「主応力空間」と言います。また、３個の主応力が一致する場合の方向を「静水圧軸」と言います。

主応力空間は塑性変形に関与する降伏基準の表現として利用されます。例えば、ミーゼスの降伏基準は、偏差の不変量（せん断作用）がある限界値に達する時に降伏するものと考えます。

ミーゼスの降伏基準は、平均応力テンソルをどれだけ加えても、それだけでは塑性変形しないことを示したモデルと言えます。

今回はコーシー応力に関する扱い方を書きました。コーシー応力テンソルに対して固有値（主応力）を求めることにも言及しました。

後半から登場したミーゼス応力は解析の場面でも多用されるため、その成り立ちを理解することは非常に重要です。コーシー応力テンソルに加えて、平均応力テンソルと偏差応力テンソルを合わせて考えました。

次回以降は力のつり合いと変形に関する記述方法について、テンソルを踏まえながら示していきます。

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