応用編〈３〉　裏返す

　図１のように，袋の中にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄと書かれた玉が１個ずつ入っている。また，表が白，裏が黒で同じ大きさの正方形のタイルが４枚ある。その中の１枚は，両面にＡと書かれていて，他の３枚も同じように１文字ずつＢ，Ｃ，Ｄと書かれている。最初，図２のように，ＡとＤが白，ＢとＣが黒であるようにタイルを並べておき，次の操作を２回繰り返してタイルの色を調べる。

（操作）
①　袋から玉を１個取り出す。
②　取り出した玉の文字と同じ文字が書かれたタイルを裏返す。
③　取り出した玉を袋にもどす。

　例えば，１回目にＢの玉，２回目にＤの玉を取り出したとき，タイルの色は

になる。
　このとき，次の問いに答えよ。ただし，玉の取り出し方は，同様に確からしいとする。（福井県2012）

(1)　すべてのタイルが同じ色になる玉の取り出し方は全部で何通りあるか。
(2)　白と黒のタイルが２枚ずつで，それぞれの色の長方形が１つずつできる確率を求めよ。

問題を解く前に・・・

　ここでは《場合分け》をよく使います。どんな《場合》に分かれるのか，モレなくダブりなくリストアップすることが大切です。「これで全部か？　漏らしててる場合はないか？」そして「この場合とあの場合でダブってないか？　同じもの混じりこんでないか？」と，たえずアンテナを張って考えておく必要があります。

（1）を解く

　以下、例えば１回目にＡ、２回目にＣを出すことを［Ａ－Ｃ］と表すとする。

　すべてのタイルは同じ色になるということは・・・すべてのタイルが黒になるか、すべてのタイルが白になるかのどちらかだったらよい。

　つまり、次の２つのどちらかが起きればよい、ということになる。

《場合分け》

❶すべてのタイルが黒になる場合は、ＡとＤが裏返ればよいので、［Ａ－Ｄ］と［Ｄ－Ａ］の２通り。

❷すべてのタイルが白になる場合は、ＢとＣが裏返ればよいので、［Ｂ－Ｃ］と［Ｃ－Ｂ］の２通り。

なので、あわせて４通り。

（２）を解く

　すべての場合（分母）は、つぎの樹形図によって、１６通り。

　さて、分子です。判定条件の「白と黒のタイルが２枚ずつで，それぞれの色の長方形が１つずつできる」ときとは、具体的にどんなときでしょうか。

　それにあてはまるすべての場合を，次の４つに場合分けしておきましょう。

《場合分け》

❶■■
　□□　　　［Ａ－Ｃ］［Ｃ－Ａ］

❷□□
　■■　　　［Ｂ－Ｄ］［Ｄ－Ｂ］

❸□■
　□■　　　　［Ｃ－Ｄ］［Ｄ－Ｃ］

❹■□
　■□　　　　［Ａ－Ｂ］［Ｂ－Ａ］

あわせて８通り。すべての場合は１６通りなので、その確率は

$${\dfrac{8}{16}=\bm{\dfrac{1}{2}}}$$

答え

（１）　４通り　　　（２）　$${\bm{\dfrac{1}{2}}}$$

類題

裏返す系の問題には、そのほかオセロ、カード、スイッチのオンオフなど。
（宮城県2022、大分県2022、宮崎県2022、大阪府C2021、高知県2020、神奈川県2017、香川県2014、福島県2015、熊本県2013、福井県2012、兵庫県2012、栃木県2010、愛知県Ａ2010、熊本県Ａ2010、茨城県2008、熊本県Ａ2007、山口県2005、鳥取県2004　など

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