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兵庫県|公立高校入試確率問題2012

 豆電球6個が,図1のように横一列に並べられている。それぞれの豆電球にはスイッチが1個ずつ付いており,そのスイッチを1回押すと点灯し,もう1回押すと消える。
 次の規則にしたがって,操作①から操作③を順に行う。

<規則>
操作① すべての豆電球が消えた状態にする。
操作② さいころを1回投げ,出た目の数を$${p}$$とし,左から$${p}$$番目までのすべてのスイッチを押す。
操作③ 続けてもう1回さいころを投げ,出た目の数を$${q}$$とし,右から$${q}$$番目までのすべてのスイッチを押す。
 操作②で$${p}$$の目,操作③で$${q}$$の目が出たとき,さいころの目の出方を($${p,q}$$)と表すことにする。
 例えば,さいころの目の出方が,(3,4)のとき,操作①から操作③における6個の豆電球の点灯のしかたは,図2のようになる。

 次の問いに答えなさい。

(1) さいころの目の出方が(5,3)のとき,操作①から操作③を行ったあと,点灯している豆電球は何個あるか,求めなさい。

(2) 操作①から操作③を行ったあと,左から1番目と2番目,右から1番目の3個だけ豆電球が点灯しているようなさいころの目の出方をすべて求めなさい。ただし,目の出方を($${p,q}$$)と表して答えなさい。

(3) 操作①から操作③を行ったあと,4個の豆電球が点灯している確率を求めなさい。

(4) 左から3番目の豆電球が切れてスイッチを押しても点灯しないとき,操作①から操作③を行ったあと,4個の豆電球が点灯している確率を求めなさい。

分類:応用〈3〉 裏返す

(1)はやってみよう

 (5,3)のときは、(Mはランプがついている、✔は一回ついたけど消えた,を表すとすると」)

というふうになるので、電球がついているのは4個

(2)は1つ1つ・・・

 さいころ1回目で出たもの($${p}$$)から、2回目で「左から1番目と2番目,右から1番目の3個だけ豆電球が点灯している」状態になるのはどうなるか、1つ1つ考えてみます。

☆$${p}$$=1のとき  電球は ○●●●●● の状態となっています。左側から1つ目がついたまま2つ目の電球をつけるためには2回目$${q}$$=5である必要がありますが,それだと○○○○○○と電球が全てついてしまいます。

☆$${p}$$=2のとき  電球は ○○●●●● の状態となっています。左側の電球はバッチリです。ここから2回目は$${q}$$=1だと求められる状態になります。(2,1)

☆$${p}$$=3のとき  電球は ○○○●●● の状態となっています。左側から3つ目の電球を消すためには$${q}$$=4が必要ですが、その代わり4~6つ目が全てついて○○●○○○となりますので、ダメです。

☆$${p}$$=4のとき  電球は ○○○○●● の状態となっています。左側から3つ目・4つ目の電球を消すためには2回目$${q}$$=4である必要がありますが,それだと○○●●○○と右側から2つ目の電球もついてしまいますので、やはりダメです。

☆$${p}$$=5のとき  電球は ○○○○○● の状態となっています。左側から3つめ~5つめの電球を消すためには2回目$${q}$$=4であればよく、それで○○●●●○となりオッケーです。(5,4)

☆$${p}$$=6のとき  電球は ○○○○○○ の状態となっています。左側から3~6つ目の電球を消すためには$${q}$$=4が必要ですが、6つ目も消えて○○●●●●となりますので、ダメです。

(3)は表を書いてしまいましょう。

 この場合はこうで、この場合はこうで・・・と考えてみてもいいですが、(2)をもとに、表を書いてしまって、あとで数える作戦でいってみましょう。

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 数えてみると、8通りありますので、確率は$${\dfrac{8}{36}=\bm{\dfrac{2}{9}}}$$です。

(4)も表を使いましょう

 (4)は、3番目の電球が消えていることにして、数え直しましょう。

(3)で数えた4つ電球がついている場合のうち3番がついているものを除外して(∅)、5つ電球がついている場合のうち3番がついているものを加えて(✔)、○と✔印を数え直すと、12通り。ですから確率を求めると、$${\dfrac{12}{36}=\bm{\dfrac{1}{3}}}$$です。

(1)4個 (2)(2,1),(5,4) (3)$${\bm{\dfrac{2}{9}}}$$    (4)$${\bm{\dfrac{1}{3}}}$$


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