香川県｜公立高校入試確率問題2014

　表は白色，裏は灰色のカードが６枚あり，それぞれのカードには表と裏に同じ数字が１から６まで書かれている。右の図１は，１と書かれたカードを示している。
　この６枚のカードが，右の図２のようにすべて表が上を向いている状態から，１から６までのどの目が出ることも同様に確からしい大小２個のさいころを用いて，次のルールにしたがってカードをひっくり返す。

【ルール】
１回目の操作　大きいさいころを１回投げ出た目の数以上の数字が書かれたカードをすべてひっくり返す。
２回目の操作　１回目の操作後の状態から，小さいさいころを１回投げ，出た目の数以下の数字が書かれたカードをすべてひっくり返す。

　たとえば，大きいさいころ，図３の出た目の数が４のとき，１回目の操作後は右の図３のようになり，小さいさいころの出た目の数が５のとき，２回目の操作後は右の図４のようになり，表が上を向いてるカードは２枚となる。

　これについて，次のア，イの問いに答えよ。

ア　図２の状態から始めて，このルールにしたがってカードをひっくり返す。大きいさいころの出た目の数が４のとき，２回目の操作後に，表が上を向いているカードが３枚になった。このとき，小さいさいころの出た目の数は何か。

イ　図２の状態から始めて，このルールにしたがってカードをひっくり返す。２回目の操作後に，表が上を向いているカードが１枚になる確率を求めよ。

分類：応用〈３〉　裏返す

アは、実際にやってみよう。

　大きいさいころの出た目の数が４のとき，問題文にある例のように1回目の操作で図３の状態になっています。
　ここから、小さいさいころで何の目が出るとどうなるか、一つ人考えてみましょう。

●小さいさいころの出た目の数が１のとき
　１以下の数字が書かれたカードをすべて、つまり１のカードだけをひっくり返すので、■□□■■■→表が上を向いているカードが２枚で×
●小さいさいころの出た目の数が２のとき
　２以下の数字が書かれたカードをすべて、つまり１と２のカードをひっくり返すので、■■□■■■→表が上を向いているカードが１枚で×
●小さいさいころの出た目の数が３のとき
　３以下の数字が書かれたカードをすべて、つまり１，２，３のカードをひっくり返すので、■■■■■■→表が上を向いているカードが０枚で×
●小さいさいころの出た目の数が４のとき
　４以下の数字が書かれたカードをすべて、つまり１，２，３，４のカードをひっくり返すので、■■■□■■→表が上を向いているカードが１枚で×
●小さいさいころの出た目の数が５のとき
　５以下の数字が書かれたカードをすべて、つまり１，２，３，４，５のカードをひっくり返すので、■■■□□■→表が上を向いているカードが２枚で×
●小さいさいころの出た目の数が６のとき
　１以下の数字が書かれたカードをすべて、つまり１～６のカード全部をひっくり返すので、■■■□□□→表が上を向いているカードが３枚でOK

　ですから、答えは６ということになります。

イも表をかいてやってみよう。

　この表から、上を向いているカードが１枚なのは、（大きいさいころの目の数，小さいさいころの目の数）の形で表すと、（１，１），（２，２），（３，１），（３，３），（４，２），（４，４），（５，３），（５，５），（６，４），（６，６）の１０通り。
　ですから、確率を求めると$${\dfrac{10}{36}=\bm{\dfrac{5}{18}}}$$

答

ア　６　　　イ　$${\bm{\dfrac{5}{18}}}$$

表が上を向いているカードを計算で求める方法はないか？

　ここからは、研究編。表をかかないで求める方法を考えてみましょう。大きいさいころで出た目の数を$${a}$$，小さいさいころで出た目の数を$${b}$$として考えます。

（１）$${a}$$-1=$${b}$$（$${a-b}$$=1）のとき
　すべて裏返ります。この状態を境目に考えます。

（２）$${a}$$-1<$${b}$$（$${a-b}$$<1）のとき
　例えば、問題文のアの状態は$${a}$$=4，$${b}$$=5ですから$${a}$$-1<$${b}$$で、ここにあてはまります。
　１回目の操作で$${a}$$～６が裏返り、２回目の操作で１～$${b}$$が裏返ります。$${a}$$～$${b}$$の間が２回裏返って結局表が上を向いています。表が上を向いているカードの枚数は$${b-a+1}$$枚です。

（３）$${a}$$-1>$${b}$$（$${a-b}$$>1）のとき
　１回目の操作で$${a}$$～６の$${7-a}$$枚が裏返ります。２回目の操作で１～$${b}$$の$${b}$$枚が裏返ります。このとき、２回裏返るカードはありませんので、裏返っている枚数は$${7-a+b}$$枚で、表が上を向いているカードの枚数は$${6-(7-a+b)}$$より$${a-b-1}$$枚です。

　結局この３つの場合ともに、表が上を向いているカードの枚数を、（$${a-b-1}$$の絶対値）枚である、とあらわすことができます。
　アの問題は、4-$${b}$$-1の絶対値が３である、ということですので、3-$${b}$$が+3か-3である、ということになります。
●3-$${b}$$=3のとき　$${b}$$=0で、答えとしては適しません。
●3-$${b}$$=-3のとき　$${b}$$=6。

　イの問題も、$${a-b-1}$$の絶対値が1であるとき、ということになりますので、$${a-b-1=1}$$または$${a-b-1=-1}$$のときの（$${a，b}$$）の組をそれぞれ求めることになります。

●$${a-b-1=1}$$のとき
　すなわち$${a-b=2}$$のときですので、$${a}$$が$${b}$$より2大きい場合、すなわち（３，１），（４，２），（５，３），（６，４）の４通りの場合があてはまります。

●$${a-b-1=-1}$$のとき
　すなわち$${a=b}$$、$${a}$$と$${b}$$が等しい場合ということですので、（１，１），（２，２），（３，３），（４，４），（５，５），（６，６）の６通りの場合があてはまります。