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モーションにおける３次元回転 #11 〜加速度・角速度信号の座標変換〜
モーションセンサ（IMU，慣性センサ）で計測する加速度や角速度はセンサに固定されたローカル座標系の信号として計測され，モーションキャプチャは絶対座標系の位置情報を与える．また，身体運動の解析，特に力学計算では最終的には座標系を統一されて計算されるが，その計算過程ではそれらが混在するので，ローカル座標系と絶対座標系間の変換が必要となる．
これまで，回転行列をその名の通りベクトルを回転させる行列とし
モーションにおける３次元回転 #10 〜平面角度の計算〜
バイオメカニクスの解析では身体や剛体の３次元回転の解析を行うよりも，「内外転角」や「回旋角」などの１自由度の回転角を解析することのほうが多いかもしれない．この１自由度の角度は平面内で記述される角度で，例えば，直線間のなす角度は２直線が形成する平面内の角度であり，直線と平面のなす角度は直線と平面が構成する面内の角度であり，回旋角度は回旋軸に垂直な面内の角度である．このように，ここでは平面内の１軸回転
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モーションにおける３次元回転 #9 〜３次元回転・公式集〜
最近では，モーションセンサやモーションキャプチャの出力も単位クォータニオンの出力が標準になりつつあり，３次元回転を扱うには単位クォータニオンの理解が不可欠である．
そこで，ここまで述べてきた３次元回転の式を単位クォータニオンによる表現を中心に以下にまとめる．
3次元回転を理解する上でオイラー角の理解も必要ではあるが，実際の計算では，ここで述べてきた単位クォータニオンのベクトルや行列表現に慣れる
モーションにおける３次元回転 #8 〜単位クォータニオンによる回転合成〜
単位クォータニオンの演算ここでは，回転合成と前章まで議論したロドリゲスの式の，単位クォータニオン（オイラーパラメータ）による表現を示す．
回転合成の節では，行列表現によってクォータニオン同士の線形計算ができることを示すが，この行列表現を用いることでMatlab, Python（Numpy）などの行列計算を利用でき，プログラミングの記述も行いやすくなり．計測制御の観点では，行列表現によってKalm
モーションにおける３次元回転 #7 〜単位クォータニオンによる回転表現〜
単位クォータニオンクォータニオンから単位クォータニオンへ
ここであらためて定義するが，クォータニオンは
$$
\bm{q}=q_0+q_1 i+ q_2 j + q_3 k=\begin{bmatrix}
q_0\\q_1\\q_2\\q_3
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
q_0\\ \bm{v}
\end{bmatrix}
$$
のように，実数で記述されたス
モーションにおける３次元回転 #6 〜クォータニオンの導入〜
単位クォータニオンとオイラーパラメータクォータニオン（quaternion）は四元数（しげんすう）とも呼ばれ，アイルランドの数学者ハミルトンが1843年に，現在ウィリアム・ローアン・ハミルトン橋と呼ばれている橋を歩いているときに，ひらめき，そのアイデア（下記の式）を橋にナイフで刻んだと伝えられている．
なお，回転を含めた２次元平面の幾何学を記述する複素数が，４次元へ拡張されたのものがクォータニオ
モーションにおける３次元回転 #5 〜ロドリゲスの式の幾何学的意味〜
前章「モーションにおける３次元回転 #4 」で，３次元回転を表すロドリゲスの式について述べたが，これは２次元平面の回転を複素数で表すオイラーの公式から単位クォータニオンへの橋渡しと位置づけていたが，もう少し補足する．
復習
図１のように，複素平面で虚数$${i}$$をかけることは，複素平面上の原点まわりの回転を意味する．
例えば，図１の実数軸上の一番右の点である$${1}$$に「虚数 $${i
モーションにおける３次元回転 #4 〜オイラーの公式からロドリゲスの式へ〜
前章「モーションにおける３次元回転 #3 」では，オイラーの公式を用いて２次元平面内の回転について説明した．
２次元と比べて３次元の回転運動の表現方法はかなり複雑である．この章では，３次元の回転行列のもう一つの表現方法である，ロドリゲスの式について説明する．クォータニオンはロドリゲスの式と密接に関係することから，ここでの目的は，これを学ぶことによって，次章（モーションにおける３次元回転 #5 ）で述
モーションにおける３次元回転 #3 〜複素数による２次元平面の回転〜
複雑な３次元の回転について説明する前に，複素数を利用した平面内の回転運動について説明する．クォータニオンとは，この複素数を利用した回転表現の３次元空間への拡張であるので，この理解を避けてとおることはできないし，この理解が３次元空間の回転をより深く理解することにつながるはずである．
複素数とオイラーの公式複素数と回転が関係すると言っても，なかなかピンとこないかもしれないが，ここでは，まず，一直線を
モーションにおける３次元回転 #2 〜方向余弦行列としての回転行列〜
前章「モーションにおける３次元回転 #１ 」で方向余弦行列について触れたが，モーションキャプチャで回転行列を計算する際，多くの場合，方向余弦行列を算出することになるため，ここで少し方向余弦について補足しておく．
前章では，正規直交基底とは直交する座標系の各軸に固定された３つの単位ベクトルで，回転行列はこの正規直交基底を並べたものであることを述べた（図１）．
図１の場合，直交する座標系の各$${X
モーションにおける３次元回転 #1
はじめに
バイオメカニクスの解析では，たとえば「腕と地面のなす角度」「腕の回旋角度」を算出するなど多種多様な解析が必要とされ，問題に応じて自分で解析方法を考えなくてはいけないことが多い．
また，モーションキャプチャなどで関節点の３次元位置が得られているなら，比較的これらの計算は容易であるが，モーションセンサ（IMU）でクォータニオンが出力され，そこからセンサの傾き角度をどのように算出するかとな