【機械学習の統計学】中心極限定理のキモチ

2020年9月22日 07:00

今回は中心極限定理について
アウトプットしていきます。

中心極限定理は記述統計と
推測統計を繋ぐ非常に重要な役割を
持っています。

感覚的にわかりずらい部分もありますが
しっかり学んでいきましょう。

1.中心極限定理とは

中心極限定理の定義はこの様になっています。

【中心極限定理とは】
①標本平均の分布は正規分布に近づく
②母集団の分散をσ2とし母集団からn個の
　データを取ったとすると標本分布の
　分散はσ2/nになる

①標本平均の分布は正規分布に近づく
について事例を元にみてみましょう。

【例】アジの重さ
母集団：世界中のアジ
標本：母集団から抽出されたデータ
　　　世界中のアジから抽出されたデータ
標本平均：標本の平均をいくつもとったもの

母集団が正規分布ではなくても
標本平均は正規分布に近づきます。

次はこちらについて考えてみましょう。
②母集団の分散をσ2とし母集団からn個の
　データを取ったとすると標本分布の
　分散はσ2/nになる

まずアジを１匹ずつとりデータを
プロットすると母集団と同じグラフ
の形になります。
（正規分布ではない）

次に母集団から全てのアジ取って
平均を出したら20gになります。

最後に標本平均の分散はσ2/nになり
標本の数が増えると分散は０に近づきます。

【まとめ】
母集団から多く標本をとると分散は０に近づく
標本の数が１であればσ2になる

それでは今まで学んだ大数の法則と
中心極限定理についてまとめていきましょう。

【前提】
母集団と標本平均の分布の関係において
母集団の平均がμ分散がσのとき

【まとめ】
①大数の法則
・標本の数が多いと標本平均はμに近づく
②中心極限定理
・標本の数をnとすると標本平均の
　分布の分散σ/2になる

【分かる事】母集団と標本の関係が分かる
①母集団の分散が分かれば標本平均の
　データの数によって標本平均の分散・
　標準偏差が分かる
②標本平均の分散が分かれば母集団の
　分散が分かる

最後に統計学を学ぶ上でお勧めの書籍を
紹介しますのでよろしければこちらも
ご覧ください。

では。

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