微小ダイポールアンテナ(微小電流源)の電界/磁界導出 その③ ~ローレンツ条件とは？~

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微小電流源_微小ダイポールアンテナ電磁界導出.pdf

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本稿の目的

下記の記事にて、ローレンツ条件を導入することで、簡易な形での波動方程式を導出でき、またそれを解くことで微小電流源による電磁界を導出できた。

$$
\nabla\cdot\bm{A}+\mu\epsilon\frac{\partial}{\partial t}\phi=0 \quad\text{（ローレンツ条件）}
$$

本稿では、ローレンツ条件とは何なのか？物理的意味は？について記述する。
（皆様の時間を節約するため先に結論を述べると、ローレンツ条件に物理的意味はありません。）

ローレンツ条件と波動方程式の展開

微小電流源による電磁界導出の過程にて、ベクトル/スカラーポテンシャル $${\bm A}$$, $${\phi}$$の波動方程式とローレンツ条件が下記の通り与えられた。

$$
\nabla\cdot\bm{A}+\mu\epsilon\frac{\partial}{\partial t}\phi=0 \quad\text{（ローレンツ条件）}
$$

$$
\begin{dcases} \nabla^2\bm{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\bm{A}=-\mu \bm{J} \\ \quad \\ \nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi=-\frac{\rho}{\epsilon} \end{dcases}
$$

最終的に、ベクトルポテンシャル$${\bm A}$$に関する波動方程式を展開して、ローレンツ条件を代入すると電荷保存の式が導出できることを示す。

まず、ローレンツ条件を展開して、$${x, y, z}$$成分について表すと、

$$
\begin{align*}
&\nabla\cdot\bm{A}+\mu\epsilon\frac{\partial}{\partial t}\phi=0 \\ \quad \\
&\rightarrow \qquad \frac{\partial}{\partial x}A_x+\frac{\partial}{\partial y}A_y+\frac{\partial}{\partial z}A_z+\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\phi=0
\end{align*}
$$

次に、ベクトルポテンシャル$${\bm A}$$, $${\phi}$$の波動方程式について、$${x, \ y, \ z}$$成分をそれぞれ式に表すと、

$$
\begin{dcases} \frac{\partial^2}{\partial x^2}A_x+\frac{\partial^2}{\partial y^2}A_x+\frac{\partial^2}{\partial z^2}A_x-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}A_x=-\mu i_x \\ \quad \\ \frac{\partial^2}{\partial x^2}A_y+\frac{\partial^2}{\partial y^2}A_y+\frac{\partial^2}{\partial z^2}A_y-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}A_y=-\mu i_y \\ \quad \\ \frac{\partial^2}{\partial x^2}A_z+\frac{\partial^2}{\partial y^2}A_z+\frac{\partial^2}{\partial z^2}A_z-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}A_z=-\mu i_z \\ \quad \\ \frac{\partial^2}{\partial x^2}\phi+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\phi+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi=-\frac{\rho}{\epsilon} \end{dcases}
$$

ここで、①~③式をそれぞれ $${x, y, z}$$で偏微分し、④式を光速$${c}$$の$${2}$$乗で割った上で、時間$${t}$$で偏微分すると、

$$
\begin{dcases} \frac{\partial^2}{\partial x^2}\frac{\partial}{\partial x}A_x+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\frac{\partial}{\partial x}A_x+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\frac{\partial}{\partial x}A_x-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\frac{\partial}{\partial x}A_x=-\mu \frac{\partial}{\partial x}i_x \\ \quad \\ \frac{\partial^2}{\partial x^2}\frac{\partial}{\partial y}A_y+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\frac{\partial}{\partial y}A_y+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\frac{\partial}{\partial y}A_y-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\frac{\partial}{\partial y}A_y=-\mu \frac{\partial}{\partial y} i_y \\ \quad \\ \frac{\partial^2}{\partial x^2}\frac{\partial}{\partial z}A_z+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\frac{\partial}{\partial z}A_z+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\frac{\partial}{\partial z}A_z-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\frac{\partial}{\partial z}A_z=-\mu \frac{\partial}{\partial z} i_z \\ \quad \\ \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)=-\frac{1}{\epsilon}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial\rho}{\partial t}\right) \end{dcases}
$$

上記4式の第1項に注目すると、4式を足し合わしたとき、ローレンツ条件の式の左辺となることが分かる。第2項～第4項同士を足し合わせた時も同様である。したがって、上記4式を足し合わせるとローレンツ条件より左辺は$${0}$$となる。
　
上記4式を足し合わせたとき、下記の式が導出される。

$$
0=\mu\left( \frac{\partial}{\partial x}i_x+\frac{\partial}{\partial y}i_y+\frac{\partial}{\partial z}i_z \right)+\frac{1}{\epsilon}\left( \frac{1}{c^2}\frac{\partial\rho}{\partial t}\right)
$$

$${1/\sqrt{\epsilon\mu}}$$は光速$${c}$$であることから、下記のように電荷保存の式が導出される。

$$
\nabla\cdot\bm{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0
$$

以上から、ベクトルポテンシャル$${\bm A}$$, $${\phi}$$に関する波動方程式を展開して、ローレンツ条件を代入すると電荷保存の式が導出できることを示した。

ただし、電荷保存の式からローレンツ条件の式を導出することはできない。ローレンツ条件の式を代入すると電荷保存の式が導出されるのは、もともとベクトルポテンシャル $${\bm A}$$, $${\phi}$$に関する波動方程式が電荷保存の式を含むマクスウェルの方程式から導出されるためである。

つまり、ローレンツ条件自体には物理的な意味はなく、ローレンツ条件は、電磁界の式を簡単に導出するために人間側の都合によって導入された条件なのである。

参考文献

本稿は主に参考4を参照いたしました。

(参考1) 微小電流源からの放射電磁界の導出 その1
https://ykondo813.hatenadiary.jp/entry/20140209/13919373tu42
(参考2) 微小電流源からの放射電磁界の導出 その2
https://ykondo813.hatenadiary.jp/entry/20140209/1391958282
(参考3) アンテナハンドブック 第2章 アンテナの基礎
https://www.ieice-hbkb.org/files/04/04gun_02hen_02.pdf
(参考4) ローレンツゲージの意味
https://eman-physics.net/electromag/gauge2.html
(参考5) 放射理論
http://www.wave.ie.niigata-u.ac.jp/yamaguchi/education/waveinformation/%E6%94%BE%E5%B0%84%E7%90%86%E8%AB%96.pdf
(参考6) 極座標 で表したラプラシアンの導出
https://risalc.info/src/polar-coordinate-Laplacian.html
(参考7) グリーンの定理
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/GreensSecondTheorem/
(参考8) 方向微分係数
https://www.kspub.co.jp/download/1565395b.pdf

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